rattrapage master1 s2 2011 2012

Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
Théorie des Opérateurs Linéaires II
Master1 AF - AH - MCO Rattrapage 2011-2012
Date: Mardi 18 Septembre 2012 Time: 08.00-09.30
( reading time)
Exercice 1 1. Soit Tun opérateur linéaire d’un espace normé Vdans un espace normé
W.
(a) Montrer que T(V)est un sous espace de W.
(b) Montrer que le noyau ker Test un sous espace de V.
(c) Si Test borné, est-il vrai que T(V)et/ou ker Tsont fermés ?
Ind. Considérer l’opérateur T:C([0;1]) !C([0;1]) dé…ni par
T f (x) = Zx
0
f(t)dt; t 2[0;1] :
2. Supposons que Test borné et surjectif. Montrer que s’il existe une constante c > 0
telle que
kT xk  ckxkpour tout x2V;
alors T1existe et T12B(W; V ):
Exercice 2 Soit Hun espace de Hilbert muni du produit scalaire h;i et dé…nissons pour u
et vdans Hl’opérateur Tu;v :H!Hpar
Tu;v (x) = hx; viu:
1. Montrer que Tu;v 2B(H):
2. Trouver sa norme.
3. Tu;v est-il compact?
4. Trouver son adjoint T
u;v: