rattrapage master1 s2 2011 2012

Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
Théorie des Opérateurs Linéaires II
Master1 AF - AH - MCO
Rattrapage
Date: Mardi 18 Septembre 2012
2011-2012
Time: 08.00-09.30
( reading time)
1. Soit T un opérateur linéaire d’un espace normé V dans un espace normé
Exercice 1
W.
(a) Montrer que T (V ) est un sous espace de W .
(b) Montrer que le noyau ker T est un sous espace de V .
(c) Si T est borné, est-il vrai que T (V ) et/ou ker T sont fermés ?
Ind. Considérer l’opérateur T : C ([0; 1]) ! C ([0; 1]) dé…ni par
Z x
T f (x) =
f (t) dt; t 2 [0; 1] :
0
2. Supposons que T est borné et surjectif. Montrer que s’il existe une constante c > 0
telle que
kT xk c kxk
pour tout x 2 V;
alors T
1
existe et T
1
2 B (W; V ) :
Exercice 2 Soit H un espace de Hilbert muni du produit scalaire h ; i et dé…nissons pour u
et v dans H l’opérateur Tu;v : H ! H par
Tu;v (x) = hx; vi u:
1. Montrer que Tu;v 2 B (H) :
2. Trouver sa norme.
3. Tu;v est-il compact?
4. Trouver son adjoint Tu;v :