INSAT-DGIM
A.U. 2018/2019
Série 4
Mathématiques
Section : MPI
Exercice 1
Dans le R−espace vectoriel E, les familles suivantes sont elles libres ?
1. E = R3 ,
(a) v1 = (1, 1, 0) , v2 = (0, 1, 1) etv3 = (1, 0, 1)
(b) v1 = (−1, 1, 0) , v2 = (1, 2, 1) etv3 = (−2, −1, −1)
2. E = F (R, R) ,
(a) f1 : x 7−→ cos2 x ; f2 : x 7−→ cos 2x ; f3 : x 7−→ 1.
(b) f1 : x 7−→ cos x ; f2 : x 7−→ sin x ; f3 : x 7−→ 1.
Exercice 2
1. Pour quelles valeurs du réel m, les vecteurs (m, 1, 1) , (1, m, 1) et (1, 1, m) formentils une base de R3 .
2. Soient
v1 = (1, −3, 2, 1) et v2 = (2, 6, −4, −2) .
(a) Vérifier que v1 et v2 sont linéairements indépendants.
Exercice 3
Soient u = (1, 0, 1, 0) , v = (0, 1, −1, 0) , w = (1, 1, 1, 1) , x = (0, 0, 1, 0), y = (1, 1, 0, −1)
Soient F = Vect (u, v, w) et G = Vect (x, y) .
Déterminer dim F, dim G, dim F + G, dim F ∩ G.
Exercice 4
Pour a ∈ R et n ∈ N∗ , montrer que la famille 1, X − a, (X − a)2 , ..., (X − a)n engendre
l’espace Rn [X] .
Déduire que c’est une base de Rn [X] . (On donnera les coordoonnées d’un polynôme P
dans cette base)
Exercice 5
Soient Q = (X − 2) (X − 3) et E = {P ∈ R [X] / deg P ≤ 6 et P (2) = P (3) = 0} .
1. Montrer que E est un R−e.v.
2. Montrer que F = Q, XQ, X2 Q, X3 Q, X4 Q est libre.
1
3. Montrer que E = Vect(F).
4. En déduire dim E.
Exercice6
Soit E = (x, y, z) ∈ R3 / x + 2y + z = 0
1. Montrer que E est un sous espace vectoriel de R3 et déterminer sa dimension.
2. Déterminer un s-e-v F de R3 tel que R3 = E + F.
3. Déterminer un s-e-v F1 de R3 tel que R3 = E ⊕ F1 .
4. Déterminer 2 s-e-v E1 et E2 de R3 tels que E = E1 ⊕ E2 .
5. Que peut-on dire de E1 + E2 + F1 .
Exercice 7
Soient E1 = R3 et E2 = R2 munis des bases canoniques respectives B1 = (e1 , e2 , e3 ) et
B2 = (u1 , u2 ) et soit f ∈ L (E1 , E2 ) définie par la matrice
2 −1
1
A = mat (f, B1 , B2 ) =
3
2 −3
On considère les vecteurs e01 = e2 + e3 , e02 = e1 + e3 , e03 = e1 + e2 , v1 = 21 (u1 + u2 ) et
v2 = 12 (u1 − u2 ) .
1. Déterminer f (x, y, z) pour (x, y, z) ∈ E1 .
2. Montrer que B01 = (e01 , e02 , e03 ) forme une base de E1 et donner mat (f, B01 , B2 ) .
3. Montrer que B02 = (v1 , v2 ) forme une base de E2 et donner mat (f, B01 , B02 ) .
Exercice 8
Soit f ∈ L R3 définie par f (x, y, z) = (x − y + z, −x + y + z, 2z).
1. Donner la matrice A de f dans la base canonique.
2. Quel est le rang de f.
3. Montrer que f ◦ f = 2f
4. Montrer que Imf et ker f sont supplémentaires dans R3 .
5. En déduire que R3 = ker f ⊕ ker (f − 2Id) .
Exercice 9
Soit l’application linéaire, de R3 dans R4 munis de leurs bases canoniques respectives,
representée par la matrice
1
2
5
2 −1
5
A=
1 −3
0
−1
2 −1
1. Quelle est l’image du vecteur v = (3, 1, −1) par f.
2
2. Déterminer le rang de f.
3. Donner une base de Imf puis une base de ker f.
Exercice 10 Soit f ∈ L R3 dont la matrice dans la base canonique est
1
A=
2
1 3 −3
1 3 −1
−2 2
0
1. On pose E1 = ker (f − idR3 ) , E2 = ker (f + idR3 ) et E3 = ker (f − 2idR3 ) .
Donner des vecteurs u1 , u2 et u3 tels que Bi = (ui ) soit une base de Ei .
2. Vérifier que B = (u1 , u2 , u3 ) est une base de R3 .
3. Écrire la matrice D de f dans la base B.
4. Donner la matrice P telle que A = PDP−1 .
5. En déduire les suites (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N définies par :
u
0 = 1, v0 = 2 et w0 = −1 et les relations de récurrences :
2un+1 = un + 3vn − 3wn
2v
= un + 3vn − wn
n+1
wn+1 = −un + vn
Exercice 11
Soit E un K espace vectoriel de dimension n > 1 et f un endomorphisme nilpotent de E
c-à-d :
∃p ∈ N∗ /fp = 0(?)
Soit p0 le plus petit entier vérifiant (?) (On l’appelle indice de nilpotence )
1. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que fp0 −1 (x) 6= 0.
2. Montrer que (x, f(x), f2 (x), ...., fp0 −1 (x)) est une famille libre de E.
3. En déduire que p0 6 n et que fn = 0.
Exercice 12
Soit E = R2 , +, · muni des lois usuelles. On pose
E1 = (x, y) ∈ R2 / x = y ,
E2 = (x, y) ∈ R2 / x = −y
1. Vérifier que E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels du R−ev E.
x+y y−x 2. Pour u = (x, y) ∈ R2 , on pose u1 = x+y
et u2 = x−y
.
2 , 2
2 , 2
(a) Exprimer u1 + u2 en fonction de u.
(b) Déduire que E est une somme directe de E1 et E2 .
3
3. Soit
f : R2
−→ R2
y−x (x, y) 7−→ x−y
2 , 2
(a) Montrer que f est un endomorphisme de E.
(b) Déterminer ker f
(c) Pour tout v ∈ E2 , exprimer f (v) en fonction de v.
(d) Déterminer Imf.
(e) f est elle bijective ? Justifier.
(f) Déterminer l’application f ◦ f − f.
4
