serie 4

INSAT-DGIM A.U. 2018/2019
Série 4
Mathématiques
Section : MPI
Exercice 1
Dans le R−espace vectoriel E, les familles suivantes sont elles libres ?
1. E=R3,
(a) v1=(1,1,0), v2=(0,1,1)etv3=(1,0,1)
(b) v1=(−1,1,0), v2=(1,2,1)etv3=(−2,−1,−1)
2. E=F(R,R),
(a) f1:x7−→cos2x;f2:x7−→cos2x ;f3:x7−→1.
(b) f1:x7−→cosx;f2:x7−→sinx;f3:x7−→1.
Exercice 2
1. Pour quelles valeurs du réel m, les vecteurs (m,1,1),(1,m,1)et (1,1,m)forment-
ils une base de R3.
2. Soient
v1=(1,−3,2,1)et v2=(2,6,−4,−2).
(a) Vérifier que v1et v2sont linéairements indépendants.
Exercice 3
Soient u=(1,0,1,0), v =(0,1,−1,0), w =(1,1,1,1), x =(0,0,1,0),y=(1,1,0,−1)
Soient F=Vect(u,v,w)et G=Vect(x,y).
Déterminer dimF, dimG, dimF+G, dimF∩G.
Exercice 4
Pour a∈Ret n∈N∗,montrer que la famille 1,X −a,(X−a)2,...,(X−a)nengendre
l’espace Rn[X].
Déduire que c’est une base de Rn[X].(On donnera les coordoonnées d’un polynôme P
dans cette base)
Exercice 5
Soient Q=(X−2)(X−3)et E={P∈R[X]/ degP≤6et P(2)=P(3)=0}.
1. Montrer que Eest un R−e.v.
2. Montrer que F = Q,XQ,X2Q,X3Q,X4Qest libre.
1

3. Montrer que E=Vect(F).
4. En déduire dimE.
Exercice 6
Soit E=(x,y,z)∈R3/ x +2y +z=0
1. Montrer que Eest un sous espace vectoriel de R3et déterminer sa dimension.
2. Déterminer un s-e-v Fde R3tel que R3=E+F.
3. Déterminer un s-e-v F1de R3tel que R3=E⊕F1.
4. Déterminer 2 s-e-v E1et E2de R3tels que E=E1⊕E2.
5. Que peut-on dire de E1+E2+F1.
Exercice 7
Soient E1=R3et E2=R2munis des bases canoniques respectives B1=(e1,e2,e3)et
B2=(u1,u2)et soit f∈L(E1,E2)définie par la matrice
A=mat(f,B1,B2)=2−1 1
3 2 −3
On considère les vecteurs e0
1=e2+e3, e0 2=e1+e3, e0 3=e1+e2, v1=1
2(u1+u2)et
v2=1
2(u1−u2).
1. Déterminer f(x,y,z)pour (x,y,z)∈E1.
2. Montrer que B0
1=(e0 1,e0 2,e0 3)forme une base de E1et donner mat(f,B0 1,B2).
3. Montrer que B0
2=(v1,v2)forme une base de E2et donner mat(f,B0 1,B0 2).
Exercice 8
Soit f∈LR3définie par f(x,y,z)=(x−y+z,−x+y+z,2z).
1. Donner la matrice Ade fdans la base canonique.
2. Quel est le rang de f.
3. Montrer que f◦f=2f
4. Montrer que Imf et kerfsont supplémentaires dans R3.
5. En déduire que R3=kerf⊕ker(f−2Id).
Exercice 9
Soit l’application linéaire, de R3dans R4munis de leurs bases canoniques respectives,
representée par la matrice
A=
1 2 5
2−1 5
1−3 0
−1 2 −1
1. Quelle est l’image du vecteur v=(3,1,−1)par f.
2

2. Déterminer le rang de f.
3. Donner une base de Imf puis une base de kerf.
Exercice 10
Soit f∈LR3dont la matrice dans la base canonique est
A=1
2
1 3 −3
1 3 −1
−2 2 0
1. On pose E1=ker(f−idR3), E2=ker(f+idR3)et E3=ker(f−2idR3).
Donner des vecteurs u1,u2et u3tels que Bi=(ui)soit une base de Ei.
2. Vérifier que B=(u1,u2,u3)est une base de R3.
3. Écrire la matrice Dde fdans la base B.
4. Donner la matrice Ptelle que A=PDP−1.
5. En déduire les suites (un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈Ndéfinies par :
u0=1,v0=2et w0= −1et les relations de récurrences :
2un+1=un+3vn−3wn
2vn+1=un+3vn−wn
wn+1= −un+vn
Exercice 11
Soit E un Kespace vectoriel de dimension n>1et f un endomorphisme nilpotent de E
c-à-d :
∃p∈N∗/fp=0(?)
Soit p0le plus petit entier vérifiant (?)(On l’appelle indice de nilpotence )
1. Montrer qu’il existe x∈Etel que fp0−1(x)6=0.
2. Montrer que (x,f(x),f2(x),....,fp0−1(x)) est une famille libre de E.
3. En déduire que p06net que fn=0.
Exercice 12
Soit E=R2,+,·muni des lois usuelles. On pose
E1=(x,y)∈R2/x=y, E2=(x,y)∈R2/x= −y
1. Vérifier que E1et E2sont deux sous espaces vectoriels du R−ev E.
2. Pour u=(x,y)∈R2, on pose u1=x+y
2,x+y 2et u2=x−y 2,y−x 2.
(a) Exprimer u1+u2en fonction de u.
(b) Déduire que Eest une somme directe de E1et E2.
3

3. Soit
f:R2−→R2
(x,y)7−→x−y
2,y−x 2
(a) Montrer que fest un endomorphisme de E.
(b) Déterminer kerf
(c) Pour tout v∈E2,exprimer f(v)en fonction de v.
(d) Déterminer Imf.
(e) fest elle bijective ? Justifier.
(f) Déterminer l’application f◦f−f.
4