Algèbre linéaire en dimension finie II

MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Algèbre linéaire en dimension finie II
Exercice 1: Montrer que toute application linéaire de K2dans lui-même est de la
forme (x,y)7→ (ax+by,cx+dy)où a,b,c,d∈K2.
Exercice 2: Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions finies. Déterminer
la dimension de L(E,F).
Exercice 3: [suites linéaires récurrentes]
1. Pour chacune des relations récurrentes suivantes, exprimer unen fonction de
u0,u1et n(dans le corps des coefficients) :
un+2=un+1−1
4unun+2=4un+1−8unun+2=2iun+1+un.
2. Discuter dans chaque cas l’existence de solutions bornées.
3. Discuter en fonction du paramètre α∈Rla dimension de l’espace vectoriel
des suites bornées vérifiant
un+2=un+1+αun.
Exercice 4: Soit Eun K-espace vectoriel. Soit u∈L(E). On suppose que pour tout
x∈E,xet u(x)sont colinéaires. Montrer que uest une homothétie. En déduire qu’un
endomorphisme qui commute à tous les endomorphismes de Eest une homothétie.
Exercice 5: Soit Eun espace vectoriel de dimension n∈Net u∈L(E).
1. On suppose u2=0. Montrer que rgu≤n
2.
2. Soit v∈L(E). On suppose que Keru+Kerv=Imu+Imv=E. Montrer que
les deux sommes sont directes.
3. Montrer que si Keru=Imu, alors nest pair. Réciproquement, si nest pair,
montrer qu’il existe un endomorphisme utel que Keru=Imu.
Exercice 6: Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net Fun sous-espace
vectoriel de dimension p. Montrer qu’il existe n−pformes linéaires (ϕi)itelles que
F=\
1≤i≤n−pKerϕi.
Montrer que les ϕisont linéairement indépendantes.
Exercice 7: Soit uet vdeux formes linéaires sur E. On suppose que Keru⊂Kerv.
Montrer que u=v.
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