Avant tout remarquons que : a, b p, a p

Avant tout remarquons que :
– la norme est multiplicative : car ∀(a, b)∈A2, ab =ab donc N(ab) = abab =
aabb =N(a)N(b).
–∀(p, a)∈A2si p|aalors p|acar :
p|a⇔ ∃q∈Atq pq =a⇔pq =pq =a=a⇔p|a.
– A est euclidien donc principal alors tout irréductible de A est premier.
Soit aun irréductible de A:
– Si N(a) = 1 alors a∈A×est an’est pas irréductible contradiction.
– Donc N(a)>1et appartient à Ndonc il existe un nombre premier pde Nqui
divise N(a)différencions deux cas :
1. p= 2 ou p≡ ±1modulo 8 alors par le 2.b) ∃αtq p=αα* et αpremier.
Nous avons aa =αα ×k,k∈N. Car αest premier dans A:αdivise a
ou aauquel cas αdivise a. Sans perdre de généralité supposons que ce
soit αqui divise a.
Car N(α) = p6= 1 :α /∈A×et car aest irréductible on a a∼αet donc
a=uα où u∈A×en passant à la norme on a : N(a) = N(u)N(α) = p.
2. pn’est pas congru à ±1modulo 8, alors pest premier dans Aet donc p|a
ou p|aauquel cas (p=p)|a, car N(p) = p26= 1 :p /∈A×, ainsi car aest
irréductible a∼p.
Dans tous les cas aest soit de norme un nombre premier de Négal à 2 ou
congrus à ±1modulo 8 soit aest associé à un nombre premier de Nnon congru
à±1modulo 8.
Donc les irréductibles de Asont :
– Les associés des nombres premiers non congru à ±1modulo 8.
– Les éléments de Ade norme un nombre premier de Négal à 2 ou congru à ±1
modulo 8.
* : ( pour p= 2 prendre α= (2+√2),αest irréductible car de norme un nombre
premier de N)
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