Avant tout remarquons que : – la norme est multiplicative : car ∀(a, b) ∈ A2 , ab = ab donc N (ab) = abab = aabb = N (a)N (b). – ∀(p, a) ∈ A2 si p|a alors p|a car : p|a ⇔ ∃q ∈ A tq pq = a ⇔ pq = pq = a = a ⇔ p|a. – A est euclidien donc principal alors tout irréductible de A est premier. Soit a un irréductible de A : – Si N (a) = 1 alors a ∈ A× est a n’est pas irréductible contradiction. – Donc N (a) > 1 et appartient à N donc il existe un nombre premier p de N qui divise N (a) différencions deux cas : 1. p = 2 ou p ≡ ±1 modulo 8 alors par le 2.b) ∃α tq p = αα* et α premier. Nous avons aa = αα × k, k ∈ N. Car α est premier dans A : α divise a ou a auquel cas α divise a. Sans perdre de généralité supposons que ce soit α qui divise a. Car N (α) = p 6= 1 : α ∈ / A× et car a est irréductible on a a ∼ α et donc a = uα où u ∈ A× en passant à la norme on a : N (a) = N (u)N (α) = p. 2. p n’est pas congru à ±1 modulo 8, alors p est premier dans A et donc p|a / A× , ainsi car a est ou p|a auquel cas (p = p)|a, car N (p) = p2 6= 1 : p ∈ irréductible a ∼ p. Dans tous les cas a est soit de norme un nombre premier de N égal à 2 ou congrus à ±1 modulo 8 soit a est associé à un nombre premier de N non congru à ±1 modulo 8. Donc les irréductibles de A sont : – Les associés des nombres premiers non congru à ±1 modulo 8. – Les éléments de A de norme un nombre premier de N égal à 2 ou congru à ±1 modulo 8. √ * : ( pour p = 2 prendre α = (2+ 2), α est irréductible car de norme un nombre premier de N ) 1