Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés 1 - IMJ-PRG

Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés
Agrégation externe
2015-2016
1 – Un résultat général – Thue
Soient pun nombre premier impair et d∈ {1,2}. Si −dest un carré modulo palors il
existe deux entiers aet btels que p=a2+db2.
Proposition 1
Démonstration. Considérons l’ensemble S={0, . . . , n}, où nest le plus grand entier tel que
n < √p. Fixons un entier wtel que w2≡ −d(mod p)et notons fl’application S×S→Fpdéfinie
par f(x, y) = x+wy. Le cardinal de S×Sétant égal à (n+ 1)2> p, le principe des tirroirs affirme
qu’il existe deux couples distincts (x, y)et (u, v)tels que f(x, y) = f(u, v). En posant a=x−u
et b=v−y, cette dernière identité se traduit par la congruence
a≡bw (mod p)
et, en élévant au carré, on en déduit que pdivise l’entier a2+db2. On vérifie alors facilement les
inégalités
0< a2+db2<(1 + d)p,
Pour d= 1, on obtient directement l’identité a2+db2=p. Pour d= 2, si a2+ 2b2= 2palors
a= 2cest pair, ce qui amène à la relation b2+ 2c2=p.
2 – Deux carrés – Fermat
Un nombre premier pest somme de deux carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 3
modulo 4.
Théorème 2
Démonstration. Si pest somme de deux carrés alors il est congru à 1ou 2modulo 4. Réciproque-
ment, l’assertion étant triviale pour p= 2, on peut seupposer pcongru à 1modulo 4. Dans ce cas,
la loi de réciprocité quadratique affirme que −1est un carré modulo pet la proposition 1permet
de conclure.
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3 – Trois carrés – Legendre
Un nombre premier pest somme de trois carrés si et seulement s’il n’est pas congru à 7
modulo 8.
Théorème 3
Démonstration. Le carré d’un entier étant congru à 0,1ou 4modulo 8, si pest somme de trois
carrés, on vérifie facilement qu’il n’est pas congru à 7modulo 8. Réciproquement, l’assertion étant
triviale pour p= 2, on peut supposer pimpair, auquel cas il est congru à 1,3ou 5modulo 8. Pour
p≡1 (mod 4), on applique le théorème 2. Finalement, pour p≡3 (mod 8), la loi de réciprocité
quadratique affirme que −2est un carré modulo pet la proposition 1permet de conclure.
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