Correction - IMJ-PRG

Correction du contrôle 7
Exercice 1
Montrer que 17 divise 3.52n+1 + 23n+1 pour tout n ∈ N.
Correction : On a 3.52n+1 + 23n+1 = 15.25n + 2.8n ; or 25 ≡ 8[17], ainsi en utilisant les propriétés
usuelles des congruences on obtient 3.52n+1 + 23n+1 ≡ 17.8n ≡ 0[17]. Cela signifie précisément
que 17 divise 3.52n+1 + 23n+1 pour tout n ∈ N.
Exercice 2
Démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6.
Correction : Supposons par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini n de tels nombres premiers, notons les p1 , ..., pn . Posons N = 6p1 ...pn − 1. D’après le théorème fondamental de
l’arithmétique, N admet une décomposition en produit de facteurs premiers N = q1 ...qm . Nous
allons démontrer par l’absurde que l’un au moins des qi est congru à 5 modulo 6. En effet,
supposons que cela ne soit pas le cas ; comme N est impair, les qi seraient alors tous congrus
soit à 1 soit à 3 modulo 6. Or comme 12 = 1, 1.3 = 3, 32 = 9 ≡ 3[6], le produit de nombres tous
congrus à 1 ou 3 modulo 6 est également congru soit à 1 soit à 3 modulo 6. Or N est congru à 5
modulo 6, ce qui donne la contradiction recherchée. Par conséquent, il existe un facteur premier
q de N qui est congru à 5 modulo 6. Par hypothèse absurde, q est égal à l’un des nombres
premiers pi ; mais N n’est divisible par aucun des pi , puisque N ≡ −1[pi ] pour tout 1 ≤ i ≤ n.
Notre hypothèse de départ était donc absurde, et il existe bien une infinité de nombres premiers
congrus à 5 modulo 6.
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