Correction - IMJ-PRG

Correction du contrˆole 7
Exercice 1
Montrer que 17 divise 3.52n+1 + 23n+1 pour tout n∈N.
Correction : On a 3.52n+1 +23n+1 = 15.25n+2.8n; or 25 ≡8[17], ainsi en utilisant les propri´et´es
usuelles des congruences on obtient 3.52n+1 + 23n+1 ≡17.8n≡0[17]. Cela signifie pr´ecis´ement
que 17 divise 3.52n+1 + 23n+1 pour tout n∈N.
Exercice 2
D´emontrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 5modulo 6.
Correction : Supposons par l’absurde qu’il n’existe qu’un nombre fini nde tels nombres pre-
miers, notons les p1, ..., pn. Posons N= 6p1...pn−1. D’apr`es le th´eor`eme fondamental de
l’arithm´etique, Nadmet une d´ecomposition en produit de facteurs premiers N=q1...qm. Nous
allons d´emontrer par l’absurde que l’un au moins des qiest congru `a 5 modulo 6. En effet,
supposons que cela ne soit pas le cas ; comme Nest impair, les qiseraient alors tous congrus
soit `a 1 soit `a 3 modulo 6. Or comme 12= 1, 1.3 = 3, 32= 9 ≡3[6], le produit de nombres tous
congrus `a 1 ou 3 modulo 6 est ´egalement congru soit `a 1 soit `a 3 modulo 6. Or Nest congru `a 5
modulo 6, ce qui donne la contradiction recherch´ee. Par cons´equent, il existe un facteur premier
qde Nqui est congru `a 5 modulo 6. Par hypoth`ese absurde, qest ´egal `a l’un des nombres
premiers pi; mais Nn’est divisible par aucun des pi, puisque N≡ −1[pi] pour tout 1 ≤i≤n.
Notre hypoth`ese de d´epart ´etait donc absurde, et il existe bien une infinit´e de nombres premiers
congrus `a 5 modulo 6.
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