Vendredi 1er octobre 2004 Classe de Terminale L Devoir de rattrapage Exercice 1 (Bac L, Antilles, Septembre 2002) On considère les nombres A = 8 387 592 115 et B = 9 276 312 516. 1. a) Montrer que 1 000 est divisible par 8. b) Montrer que A est congru à 3 modulo 8. c) Donner l'entier naturel b strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à b modulo 8. 2. Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8 qui sont congrus respectivement à A+ B et à AB. 3. a) Montrer que B 2 est divisible par 8. b) Montrer que A 2 n'est pas divisible par 8. c) Montrer que A l00 n'est pas divisible par 8. Exercice 2 (Bac L, Liban, juin 2002) On considère le nombre entier A = 18 2002. 1) A est-il divisible par 9 ? Par 4 ? (Justifier les réponses) 2) On cherche à obtenir le reste de la division euclidienne de A par 7, en utilisant des congruences. a) Trouver l'entier r vérifiant 0 ≤ r < 7 et 18 ≡ r (modulo 7). b) Quel est le plus petit entier naturel non nul n tel que rn ≡ 1 (modulo 7) ? c) Prouver que pour tout nombre entier naturel k, 43 k est congru à 1 modulo 7. d) En déduire le reste de la division euclidienne de A par 7. 3) Montrer que 200218 est divisible par 13.