Classe de Terminale L

Classe de Terminale L Vendredi 1er octobre 2004
Devoir de rattrapage
Exercice 1 (Bac L, Antilles, Septembre 2002)
On considère les nombres A = 8 387 592 115 et B = 9 276 312 516.
1. a) Montrer que 1 000 est divisible par 8.
b) Montrer que A est congru à 3 modulo 8.
c) Donner l'entier naturel b strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à b
modulo 8.
2. Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8 qui sont congrus
respectivement à A+ B et à AB.
3. a) Montrer que B2 est divisible par 8.
b) Montrer que A2 n'est pas divisible par 8.
c) Montrer que Al00 n'est pas divisible par 8.
Exercice 2 (Bac L, Liban, juin 2002)
On considère le nombre entier A = 182002.
1) A est-il divisible par 9 ? Par 4 ? (Justifier les réponses)
2) On cherche à obtenir le reste de la division euclidienne de A par 7, en utilisant des
congruences.
a) Trouver l'entier r vérifiant 0 ≤ r < 7 et 18 ≡ r (modulo 7).
b) Quel est le plus petit entier naturel non nul n tel que rn ≡ 1 (modulo 7) ?
c) Prouver que pour tout nombre entier naturel k, 43 k est congru à 1 modulo 7.
d) En déduire le reste de la division euclidienne de A par 7.
3) Montrer que 200218 est divisible par 13.