Exercices: fractions continues (26-09

Exercices: fractions continues (26-09-15)
Exercice 1. D´evelopper 14/9, 34/13, 2015/42 en fraction continue.
Exercice 2. D´evelopper √3 et √7, en fraction continue, ainsi que √n2+ 1 pour tout nentier
strictement positif.
Exercice 3. Soit xun irrationel positif, p/q une de ses r´eduites, p0/q0la r´eduite suivante, et r
le dernier quotient partiel intervenant dans le calcul de p0/q0. Montrer que q0> rq et en d´eduire que
|x−(p/q)|<1
rq2.
Exercice 4. Dans l’exercice pr´ec´edent, on suppose que x=√ko`u kest un entier positif sans
ˆetre un carr´e parfait, et que r= 2m, o`u mest la partie enti`ere de x. Montrer que √k+(p/q)<2(m+1).
En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que |√k−(p/q)|<1/(2mq2). En d´eduire que |p2−kq2|= 1.
Trouver deux carr´es parfaits strictement positifs tels que si on ajoute un 1 `a droite de leur ´ecriture
d´ecimale, on trouve encore un carr´e parfait.
Exercice 5. On consid`ere le nombre irrationnel xdont le d´eveloppement en fraction continue
est [1; 2,3,1,2,3,1,2,3, . . . ]. Donner une expression de xsous la forme (a+b√c)/d o`u a, b, c, d sont
entiers.
Exercices: divers
Exercice 6. (JBMO 2011) Trouver tous les nombres premiers ptels qu’il existe des entiers
strictement positifs xet yv´erifiant x(y2−p) + y(x2−p) = 5p.
Exercice 7. (IMO 1987) Montrer que la somme des nombres de points fixes de toutes les
permutations de {1, . . . , n}est ´egale `a n!.
Exercice 8. Soit x= 126,y= 68,z= 211.37. V´erifier que xxyy=zz.
Exercice 9. L’ann´ee de naissance d’une personne vivant aujourd’hui n’a que 2 et 3 comme
facteurs premiers. D´eterminer cette ann´ee.
Exercice 10. 1) Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 2 modulo 3,
et qu’il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 3 modulo 4.
2) Soit nun entier et pun nombre premier divisant n2+ 1. Montrer que p= 2 ou pest congru `a
1 modulo 4 (on pourra utiliser le petit th´eor`eme de Fermat). En d´eduire qu’il existe une infinit´e de
nombres premiers congrus `a 1 modulo 4.
3) Soit nun entier strictement positif et pun nombre premier divisant 1+n+n2+n3+n4. Montrer
que p= 5 ou que pest congru `a 1 modulo 5. En d´eduire qu’il existe une infinit´e de nombre premiers
dont l’´ecriture d´ecimale se termine par 1.
Exercice 11. On d´efinit la suite (un)n≥0telle que u0= 0 et un+1 = 2unpour tout n≥0.
Montrer que pour tout entier a≥1, il existe r(a)∈ {0, . . . , a −1}tel que unest congru `a r(a) modulo
apour tout nsuffisamment grand. Calculer r(42).
Exercice 12. On ´ecrit les carr´es parfaits les uns `a la suite des autres: 149162536... Quel est le
126-i`eme chiffre ´ecrit ?
Exercice 13. (shortlist IMO 1983) Dix compagnies a´eriennes desservent un total de 1983
villes. Entre deux villes quelconques, il existe toujours une compagnie pour offrir un vol direct entre
ces deux villes, dans les deux sens. Prouver qu’au moins une des compagnies a´eriennes propose un
voyage consistant en un circuit ferm´e comprenant un nombre impair de villes.
Exercice 14. Pour nentier positif, on note anle nombre de quadruplets d’entiers entre 1 et
10 dont la somme est ´egale `a n. Montrer que anest maximal pour n= 22.
Exercice 15. Montrer que pour n≥1 entier, nnnest une puissance 42-i`eme parfaite si et
seulement si nnest une puissance 42-i`eme parfaite. Montrer que ce r´esultat devient faux si 42 est
remplac´e par 63.
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