L2 Mathématiques 2011–2012 Algèbre et Arithmétique 3 Correction des exercices 2 et 5 de la feuille de TD 5 Exercice 2 Si n est pair, un peu d’attention montre que σ s’écrit comme le produit de transpositions n 2 Y n n n n σ = (1, n − 1)(2, n − 2) . . . ( − 1, + 2)( , + 1) = (i, n + 1 − i) 2 2 2 2 i=1 et que ces transpositions ont des supports disjoints. La signature de σ est donc 1 si −1 sinon, soit 1 si n est congru à 0 modulo 4 et −1 si n est congru à 2 modulo 4. Si n est impair, on voit que σ s’écrit comme le produit de transpositions n 2 est pair et n−1 2 Y n−3 n+5 n−1 n+3 σ = (1, n − 1)(2, n − 2) . . . ( , )( , )= (i, n + 1 − i) 2 2 2 2 i=1 et que ces transpositions ont des supports disjoints (notons que dans ce cas σ a un point fixe, à n−1 savoir n+1 2 . La signature de σ est donc 1 si 2 est pair et −1 sinon, soit 1 si n est congru à 1 modulo 4 et −1 si n est congru à 3 modulo 4. Exercice 5 (beaucoup d’arguments ne sont qu’esquissés, cf. le cours ou vos enseignants pour plus de détails si besoin) √ 1 On montre que Z[i 2] est un sous-anneau de C par la méthode standard, en utilisant les identités √ √ 0 = 0 + i.0. 2, 1 = 1 + i.0. 2 √ √ √ (a1 + i.b1 . 2) + (a2 + i.b2 . 2) = (a1 + a2 ) + i.(b1 + b2 ). 2 √ √ −(a1 + i.b1 . 2) = (−a1 ) + i.(−b1 ). 2) √ √ √ (a1 + i.b1 . 2).(a2 + i.b2 . 2) = (a1 .a2 − 2 b1 .b2 ) + i.(a2 .b1 + a1 .b2 ). 2 √ 2 Soit z ∈ Z[i 2]× . De la même √ façon que pour Z[i], on en déduit en prenant la norme que N (z) = 1. Si on écrit z = a + i b 2 avec (a, b) ∈ Z2 , on obtient a2 + 2 b2 = 1. On a donc 2 b2 6 1, soit b2 6√0 soit b = 0 et 1 et −1 sont bien inversibles √ finalement a ∈ {1, −1}. Réciproquement √ dans Z[i 2]. Donc Z[i 2]× = {1, −1} = {z ∈ Z[i 2], N (z) = 1}. 3 En procédant de façon √ similaire à Z[i], on se ramène à démontrer la chose suivante : dans un rectangle de côtés 1 et 2, tout point est à distance d’un des sommets du rectangle strictement inférieure à 1 (pour Z[i] c’est le carré de côté 1 qui intervenait). Ceci est vrai car, en notant O le centre du rectangle et A, B, C et D ses sommets, on constate facilement que tout point du rectangle est à distance de l’un des sommets inférieure à √ 3 OA = OB = OC = OD = 2 √ 2 or 23 = 34 < 1. 4 Des exemples de tels nombres premiers sont 2 = 0 + 2.1, 3 = 1 + 2.1, 11 = 32 + 2.1, 17 = 32 + 2.22 . . . Si p = a2 + 2 b2 , on peut noter que p ne divise pas b (démonstration analogue à celle donnée en cours pour −1). Donc en réduisant modulo p et en notant α et β les images de a et b dans Fp , 2 on obtient 0 = α2 + 2 β 2 soit −2 = α . β 5 On √ vérifie (cf. cours) que l’application en question (notons là ϕ) est un morphisme surjectif de Z[i 2] sur Fp ) et que √ √ Ker(ϕ) = {p.z1 + (c + i 2)z2 , (z1 , z2 ) ∈ Z[i 2]2 } √ Comme Z[i 2] admet une division euclidienne, tous √ ses idéaux sont principaux. Soit z0 un 2 générateur du noyau de ϕ. Il divise donc p et c + i 2. Comme √ il divise p, sa norme divise p . 2 Si sa√norme est p , on a z0 = α p où α est un inversible de Z[i 2] et on en déduit que p divise √ c + i 2 d’où p divise c, contradiction. Si sa norme est 1, il est inversible, donc Ker(ϕ) =√Z[i 2] et ϕ est nulle, contradiction. Nécessairement z0 est de norme p, et si on écrit z0 = a + i b 2, cela se traduit par a2 + 2 b2 = p.