Algèbre et Arithmétique 3 Correction des exercices 2 et 5 de la

L2 Mathématiques 2011–2012
Algèbre et Arithmétique 3
Correction des exercices 2 et 5 de la feuille de TD 5
Exercice 2
Si nest pair, un peu d’attention montre que σs’écrit comme le produit de transpositions
σ= (1, n −1)(2, n −2) . . . (n
2−1,n 2+ 2)(n 2,n 2+ 1) =
n
2
Y
i=1
(i, n + 1 −i)
et que ces transpositions ont des supports disjoints. La signature de σ est donc 1si
n
2
est pair et
−1sinon, soit 1si nest congru à 0modulo 4et −1si nest congru à 2modulo 4.
Si nest impair, on voit que σs’écrit comme le produit de transpositions
σ= (1, n −1)(2, n −2) . . . (n−3
2,n+ 5 2)(n−1 2,n+ 3 2) =
n−1
2
Y
i=1
(i, n + 1 −i)
et que ces transpositions ont des supports disjoints (notons que dans ce cas σa un point fixe, à
savoir
n+1
2
. La signature de σ est donc 1si
n−1
2
est pair et − 1sinon, soit 1si n est congru à 1
modulo 4et −1si nest congru à 3modulo 4.
Exercice 5
(beaucoup d’arguments ne sont qu’esquissés, cf. le cours ou vos enseignants pour plus de
détails si besoin)
1 On montre que Z [ i√2 ]est un sous-anneau de C par la méthode standard, en utilisant les
identités
0 = 0 + i.0.√2,1 = 1 + i.0.√2
(a1+i.b1.√2) + (a2+i.b2.√2) = (a1+a2) + i.(b1+b2).√2
−(a1+i.b1.√2) = (−a1) + i.(−b1).√2)
(a1+i.b1.√2).(a2+i.b2.√2) = (a1.a2−2b1.b2) + i.(a2.b1+a1.b2).√2
2 Soit z∈Z [ i√2 ]
×
. De la même façon que pour Z [ i ], on en déduit en prenant la norme que
N ( z ) = 1. Si on écrit z = a + i b √2 avec ( a, b ) ∈Z2 , on obtient a2 + 2 b2 = 1. On a donc 2 b26 1,
soit b26 0soit b = 0 et finalement a∈ { 1 ,− 1 } . Réciproquement 1et − 1sont bien inversibles
dans Z[i√2]. Donc Z[i√2]×={1,−1}={z∈Z[i√2], N(z)=1}.
3 En procédant de façon similaire à Z [ i ], on se ramène à démontrer la chose suivante : dans un
rectangle de côtés 1et
√2
, tout point est à distance d’un des sommets du rectangle strictement
inférieure à 1(pour Z [ i ]c’est le carré de côté 1qui intervenait). Ceci est vrai car, en notant O
le centre du rectangle et A , B , C et D ses sommets, on constate facilement que tout point du
rectangle est à distance de l’un des sommets inférieure à
OA =OB =OC =OD =√3
2
or √3
22
=3
4<1.
4 Des exemples de tels nombres premiers sont 2 = 0 + 2 . 1,3 = 1 + 2 . 1,11 = 3
2
+ 2 . 1,
17 = 32+ 2.22. . .
Si p=a2+ 2 b2, on peut noter que pne divise pas b(démonstration analogue à celle donnée
en cours pour − 1). Donc en réduisant modulo p et en notant α et β les images de a et b dans Fp ,
on obtient 0 = α2+ 2 β2soit −2 = α
β2
.

5 On vérifie (cf. cours) que l’application en question (notons là ϕ ) est un morphisme surjectif
de Z[i√2] sur Fp) et que
Ker(ϕ) = {p.z1+ (c+i√2)z2,(z1, z2)∈Z[i√2]2}
Comme Z [ i√2 ]admet une division euclidienne, tous ses idéaux sont principaux. Soit z0 un
générateur du noyau de ϕ . Il divise donc p et c + i√2 . Comme il divise p , sa norme divise p2 .
Si sa norme est p2 , on a z0 = α p où α est un inversible de Z [ i√2 ]et on en déduit que p divise
c + i√2 d’où p divise c , contradiction. Si sa norme est 1, il est inversible, donc Ker ( ϕ ) = Z [ i√2 ]
et ϕ est nulle, contradiction. Nécessairement z0 est de norme p , et si on écrit z0 = a + i b √2 , cela
se traduit par a2+ 2 b2=p.