Algèbre et Arithmétique 3 Correction des exercices 2 et 5 de la

L2 Mathématiques
2011–2012
Algèbre et Arithmétique 3
Correction des exercices 2 et 5 de la feuille de TD 5
Exercice 2
Si n est pair, un peu d’attention montre que σ s’écrit comme le produit de transpositions
n
2
Y
n
n
n n
σ = (1, n − 1)(2, n − 2) . . . ( − 1, + 2)( , + 1) =
(i, n + 1 − i)
2
2
2 2
i=1
et que ces transpositions ont des supports disjoints. La signature de σ est donc 1 si
−1 sinon, soit 1 si n est congru à 0 modulo 4 et −1 si n est congru à 2 modulo 4.
Si n est impair, on voit que σ s’écrit comme le produit de transpositions
n
2
est pair et
n−1
2
Y
n−3 n+5 n−1 n+3
σ = (1, n − 1)(2, n − 2) . . . (
,
)(
,
)=
(i, n + 1 − i)
2
2
2
2
i=1
et que ces transpositions ont des supports disjoints (notons que dans ce cas σ a un point fixe, à
n−1
savoir n+1
2 . La signature de σ est donc 1 si 2 est pair et −1 sinon, soit 1 si n est congru à 1
modulo 4 et −1 si n est congru à 3 modulo 4.
Exercice 5
(beaucoup d’arguments ne sont qu’esquissés, cf. le cours ou vos enseignants pour plus de
détails si besoin)
√
1 On montre que Z[i 2] est un sous-anneau de C par la méthode standard, en utilisant les
identités
√
√
0 = 0 + i.0. 2, 1 = 1 + i.0. 2
√
√
√
(a1 + i.b1 . 2) + (a2 + i.b2 . 2) = (a1 + a2 ) + i.(b1 + b2 ). 2
√
√
−(a1 + i.b1 . 2) = (−a1 ) + i.(−b1 ). 2)
√
√
√
(a1 + i.b1 . 2).(a2 + i.b2 . 2) = (a1 .a2 − 2 b1 .b2 ) + i.(a2 .b1 + a1 .b2 ). 2
√
2 Soit z ∈ Z[i 2]× . De la même
√ façon que pour Z[i], on en déduit en prenant la norme que
N (z) = 1. Si on écrit z = a + i b 2 avec (a, b) ∈ Z2 , on obtient a2 + 2 b2 = 1. On a donc 2 b2 6 1,
soit b2 6√0 soit b = 0 et
1 et −1 sont bien inversibles
√ finalement a ∈ {1, −1}. Réciproquement
√
dans Z[i 2]. Donc Z[i 2]× = {1, −1} = {z ∈ Z[i 2], N (z) = 1}.
3 En procédant de façon
√ similaire à Z[i], on se ramène à démontrer la chose suivante : dans un
rectangle de côtés 1 et 2, tout point est à distance d’un des sommets du rectangle strictement
inférieure à 1 (pour Z[i] c’est le carré de côté 1 qui intervenait). Ceci est vrai car, en notant O
le centre du rectangle et A, B, C et D ses sommets, on constate facilement que tout point du
rectangle est à distance de l’un des sommets inférieure à
√
3
OA = OB = OC = OD =
2
√ 2
or 23 = 34 < 1.
4 Des exemples de tels nombres premiers sont 2 = 0 + 2.1, 3 = 1 + 2.1, 11 = 32 + 2.1,
17 = 32 + 2.22 . . .
Si p = a2 + 2 b2 , on peut noter que p ne divise pas b (démonstration analogue à celle donnée
en cours pour −1). Donc en réduisant modulo p et en notant α et β les images de a et b dans Fp ,
2
on obtient 0 = α2 + 2 β 2 soit −2 = α
.
β
5 On
√ vérifie (cf. cours) que l’application en question (notons là ϕ) est un morphisme surjectif
de Z[i 2] sur Fp ) et que
√
√
Ker(ϕ) = {p.z1 + (c + i 2)z2 , (z1 , z2 ) ∈ Z[i 2]2 }
√
Comme Z[i 2] admet une division euclidienne, tous
√ ses idéaux sont principaux. Soit z0 un
2
générateur du noyau de ϕ. Il divise donc p et c + i 2. Comme
√ il divise p, sa norme divise p .
2
Si sa√norme est p , on a z0 = α p où α est un inversible de Z[i 2] et on en déduit que p divise
√
c + i 2 d’où p divise c, contradiction. Si sa norme est 1, il est inversible, donc Ker(ϕ) =√Z[i 2]
et ϕ est nulle, contradiction. Nécessairement z0 est de norme p, et si on écrit z0 = a + i b 2, cela
se traduit par a2 + 2 b2 = p.