Feuille de TD n 2

IUT Info 1A
Ann´ee 2007-08
P´eriode 1 Arithm´etique
F. Madelaine
J. Mailfert
D. Richard
Feuille de TD n◦2
1 Congruences
Exercice 1. Calculer les congruences modulo 7 des nombres :
a - A= 67, B= 767, C= 123456 ×7,
b - D=A+B,
c - E= 67 ×57,
d - F= 678.
Exercice 2. Trouver les restes modulo ndes nombres Nci-dessous :
a - N= 123456789, n = 6,
b - N= 123456789, n = 7,
c - N= 123456789, n = 15,
d - N= 12345678910111213, n = 19.
Exercice 3. D´eterminer le reste de la division par 13 du nombre 1001000.
Exercice 4. a - D´emontrer que l’on peut calculer x43 en employant trois produits et des
´el´evations au carr´e.
b - Calculer 124743 mod 27.
2 Divisibilit´e
Exercice 5. a - Prouver que, pour tout entier naturel n, 6 divise 11n3+n.
b - Montrer que, pour tout entier naturel n, 9 divise 4n−3n−1.
Exercice 6. Consid´erons l’ensemble Sdes entiers ntels que n= 5×a+7×bavec a, b entiers positifs .
a - Par r´ecurrence, prouver que, pour tout entier naturel n≥24, n ∈S. On pourra utiliser
les deux ´egalit´es 1 = 5 ×3−7×2 et 1 = 7 ×3−5×4.
b - Montrer que 24,25,26,27,28 ∈S. Puis, en utilisant la division euclidienne, d´eduire que
tout entier naturel n≥24 appartient `a S.
c - Que se passe-t-il pour n≤23 ?
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