MASTER M1 Recherche M1

Université Claude Bernard Lyon 1
MASTER M1 Recherche
M1-Algèbre
EXAMEN
10 Janvier 2013
Durée : 3 heures
Certaines questions pourront provoquer des réflexions profondes. Après un voyage
intérieur à travers la nature physique et métaphysique des questions posées, un
retour brutal risquerait d’aboutir à des désillusions existentielles irrémédiables 1.
Il est donc fortement conseillé de rédiger avec le plus grand soin.
EXERCICE.
On se propose de montrer que le polynôme
P=X9+ 3X8+ 5X3−3X2+ 3X+ 17
est irréductible sur Q[X].
1) Montrer que si Pest irréductible sur Z[X], alors, il l’est sur Q[X].
2) Pour tout nombre premier pet tout polynôme Qde Z[X], on note Qple poly-
nôme de Fpdont les coefficients sont les résidus modulo pdes coefficients de Q.
Montrer que Q7→ Qpdéfinit un morphisme d’anneaux entre Z[X]et Fp[X]. En
déduire que si Qest un polynôme unitaire de Z[X]tel que Qpest irréductible sur
Fp[X], alors Ql’est sur Z[X].
3) Montrer que X3−X−1est irréductible sur F3[X].
4) Soit Kle corps de décomposition du polynôme X4+X+ 1 ∈F2[X]et α∈K
une racine de ce polynôme.
a) Montrer que α∈F16 et α6∈ F4.
b) Montrer que X4+X+ 1 est irréductible dans F2[X].
5) Conclure que Pest irréductible sur Q[X].
On pourra étudier la factorisation de P3, ainsi que P2, puis, partir sur la consi-
dération suivante : l’ensemble des degrés des polynômes irréductibles dans la dé-
composition de Pforme une partition de 9.
PROBLEME.
Le but du problème est de montrer qu’un entier n > 0s’écrit comme une somme
de deux carrés d’entiers si et seulement si la p-valuation νp(n)de nest paire dès
que pest un nombre premier congru à 3 modulo 4.
1. Il n’est pas vraiment nécessaire de comprendre ces deux premières phrases pour réussir
l’examen.
1

A.
1) Quels sont les carrés de Z/4Z?
2) Montrer que si un nombre premier impair est somme de deux carrés, alors p
est congru à 1 modulo 4.
3) Question de cours : montrer que l’anneau Z[i]des entiers de Gauss est principal.
4) Montrer que si pest congru à 3 modulo 4, alors pest premier dans Z[i].
On pourra utiliser la norme.
B. On suppose ici que la décomposition en facteurs premiers de ndans Zest
donnée par n=p1· · · pk, où les pi,1≤i≤k, sont des nombres premiers deux à
deux distincts, non congrus à 3 modulo 4.
1) Montrer que −1est un carré de Z/piZpour tout i,1≤i≤k.
2) En déduire que −1est un carré dans Z/nZ. Combien −1possède-t-il de racines
carrées dans Z/nZ?
On distinguera deux cas. . .
On notera dans la suite ωune racine carrée de −1dans Z/nZ.
3) Montrer que Z/nZest doté d’une structure de Z[X]-module par
P.u =P(ω)u, P ∈Z[X], u ∈Z/nZ.
4) En déduire une structure de Z[i]-module sur Z/nZet montrer que ce module
est alors engendré par 1∈Z/nZ.
C. Soit mun entier positif et φun morphisme injectif de Z-module de Zmdans
lui-même.
1) Enoncer le théorème de la base adaptée et montrer qu’il existe deux bases du
Z-module libre Zm(une de départ et une d’arrivée) pour lesquelles la matrice de
φest diagonale.
2) En déduire que le cardinal du module quotient Zm/Imφvaut |det(φ)|.
3) On suppose dans les questions 3) et 4) que nest comme dans B. Donner une
présentation du Z[i]-module Z/nZpar des Z[i]-modules libres de rang 1 et un
morphisme φde multiplication par un entier de Gauss (a+ib).
4) En déduire une présentation du Z-module Z/nZpar des Z-modules libres de
rang 2, puis, par un argument de cardinalité, que n=a2+b2.
5) Montrer que si la p-valuation νp(n)est paire dès que pest un nombre premier
congru à 3 modulo 4, alors ns’écrit comme une somme de deux carrés d’entiers.
D.
1) Montrer qu’un nombre premier preste premier dans Z[i]si et seulement si p
est congru à 3 modulo 4.
2) Montrer que si pest premier, avec p=a2+b2, alors a+ib et a−ib sont
premiers dans Z[i].
3) Soit nun entier positif tel que nse décompose en somme de deux carrés
d’entiers. Montrer que νp(n)est paire dès que pest un nombre premier congru à
3 modulo 4.
On pourra comparer deux décompositions de ndans Z[i]dont la décomposition
en facteurs premiers.
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