Université Claude Bernard Lyon 1 MASTER M1 Recherche M1-Algèbre EXAMEN 10 Janvier 2013 Durée : 3 heures Certaines questions pourront provoquer des réflexions profondes. Après un voyage intérieur à travers la nature physique et métaphysique des questions posées, un retour brutal risquerait d’aboutir à des désillusions existentielles irrémédiables 1 . Il est donc fortement conseillé de rédiger avec le plus grand soin. EXERCICE. On se propose de montrer que le polynôme P = X 9 + 3X 8 + 5X 3 − 3X 2 + 3X + 17 est irréductible sur Q[X]. 1) Montrer que si P est irréductible sur Z[X], alors, il l’est sur Q[X]. 2) Pour tout nombre premier p et tout polynôme Q de Z[X], on note Qp le polynôme de Fp dont les coefficients sont les résidus modulo p des coefficients de Q. Montrer que Q 7→ Qp définit un morphisme d’anneaux entre Z[X] et Fp [X]. En déduire que si Q est un polynôme unitaire de Z[X] tel que Qp est irréductible sur Fp [X], alors Q l’est sur Z[X]. 3) Montrer que X 3 − X − 1 est irréductible sur F3 [X]. 4) Soit K le corps de décomposition du polynôme X 4 + X + 1 ∈ F2 [X] et α ∈ K une racine de ce polynôme. a) Montrer que α ∈ F16 et α 6∈ F4 . b) Montrer que X 4 + X + 1 est irréductible dans F2 [X]. 5) Conclure que P est irréductible sur Q[X]. On pourra étudier la factorisation de P 3 , ainsi que P 2 , puis, partir sur la considération suivante : l’ensemble des degrés des polynômes irréductibles dans la décomposition de P forme une partition de 9. PROBLEME. Le but du problème est de montrer qu’un entier n > 0 s’écrit comme une somme de deux carrés d’entiers si et seulement si la p-valuation νp (n) de n est paire dès que p est un nombre premier congru à 3 modulo 4. 1. Il n’est pas vraiment nécessaire de comprendre ces deux premières phrases pour réussir l’examen. 1 A. 1) Quels sont les carrés de Z/4Z ? 2) Montrer que si un nombre premier impair est somme de deux carrés, alors p est congru à 1 modulo 4. 3) Question de cours : montrer que l’anneau Z[i] des entiers de Gauss est principal. 4) Montrer que si p est congru à 3 modulo 4, alors p est premier dans Z[i]. On pourra utiliser la norme. B. On suppose ici que la décomposition en facteurs premiers de n dans Z est donnée par n = p1 · · · pk , où les pi , 1 ≤ i ≤ k, sont des nombres premiers deux à deux distincts, non congrus à 3 modulo 4. 1) Montrer que −1 est un carré de Z/pi Z pour tout i, 1 ≤ i ≤ k. 2) En déduire que −1 est un carré dans Z/nZ. Combien −1 possède-t-il de racines carrées dans Z/nZ ? On distinguera deux cas. . . On notera dans la suite ω une racine carrée de −1 dans Z/nZ. 3) Montrer que Z/nZ est doté d’une structure de Z[X]-module par P.u = P (ω)u, P ∈ Z[X], u ∈ Z/nZ. 4) En déduire une structure de Z[i]-module sur Z/nZ et montrer que ce module est alors engendré par 1 ∈ Z/nZ. C. Soit m un entier positif et φ un morphisme injectif de Z-module de Zm dans lui-même. 1) Enoncer le théorème de la base adaptée et montrer qu’il existe deux bases du Z-module libre Zm (une de départ et une d’arrivée) pour lesquelles la matrice de φ est diagonale. 2) En déduire que le cardinal du module quotient Zm /Imφ vaut | det(φ)|. 3) On suppose dans les questions 3) et 4) que n est comme dans B. Donner une présentation du Z[i]-module Z/nZ par des Z[i]-modules libres de rang 1 et un morphisme φ de multiplication par un entier de Gauss (a + ib). 4) En déduire une présentation du Z-module Z/nZ par des Z-modules libres de rang 2, puis, par un argument de cardinalité, que n = a2 + b2 . 5) Montrer que si la p-valuation νp (n) est paire dès que p est un nombre premier congru à 3 modulo 4, alors n s’écrit comme une somme de deux carrés d’entiers. D. 1) Montrer qu’un nombre premier p reste premier dans Z[i] si et seulement si p est congru à 3 modulo 4. 2) Montrer que si p est premier, avec p = a2 + b2 , alors a + ib et a − ib sont premiers dans Z[i]. 3) Soit n un entier positif tel que n se décompose en somme de deux carrés d’entiers. Montrer que νp (n) est paire dès que p est un nombre premier congru à 3 modulo 4. On pourra comparer deux décompositions de n dans Z[i] dont la décomposition en facteurs premiers. 2