Corrigé du contrôle n˚3

2014-2015 Terminale 07-10 Spécialité
Corrigé du contrôle n˚3
Exercice 1
1. Si adivise 3n−5 et 2n+ 3, alors il divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres,
en particulier, adivise −2(3n−5) + 3(2n+ 3) = 19.
2. La réciproque est fausse.
Si a= 19, adivise 19 mais, avec n= 3, on a 3n−5 = 4 donc ane divise pas 3n−5.
Exercice 2
ndésigne un nombre entier naturel.
1. (n+ 4)(3n−5) + 20 = 3n2+ 12n−5n−20 + 20 = 3n2+ 7n.
2. 3n2+ 7n
n+ 4 =(n+ 4)(3n−5) + 20 n+ 4 = 3n−5 + 20 n+ 4 .
3n2+ 7n
n+ 4 est un nombre entier si et seulement si n+ 4 divise 20.
20 = 22×5.
Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, −1, −2, −4, −5, −10, −20.
nest un entier naturel donc n+ 4 >4.
n+ 4 = 4 ⇐⇒ n= 0, n+ 4 = 5 ⇐⇒ n= 1, n+ 4 = 10 ⇐⇒ n= 6, n+ 4 = 20 ⇐⇒
n= 16.
Les valeurs de nsont : 0, 1, 6 et 16.
Exercice 3
5n+ 21 = 5(n+ 3) + 6.
Si n+ 3 >6⇐⇒ n > 3, le reste est 6.
Si n= 3, 5n+ 21 = 36, n+ 3 = 6, 36 = 6 ×6 donc r= 0.
Si n= 2, 5n+ 21 = 31, n+ 4 = 5, 31 = 6 ×5 + 1 donc r= 1.
Si n= 1, 5n+ 21 = 26, n+ 3 = 4, 26 = 6 ×4 + 2 donc r= 2.
Si n= 0, 5n+ 21 = 21, n+ 3 = 3, 21 = 7 ×3 donc r= 0.
Exercice 4
On dresse un tableau de congruence modulo 5.
n01234
n201441
n2−1 40330
n2−4 12002
(n2−1)(n2−4)40000
Si nn’est pas congru à 0 modulo 5, alors (n2−1)(n2−4) est congru à 0 modulo 5.
Exercice 5 (5 points)
1. x≡0 1 2 3
x2≡0 1 0 1
1

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2. 7x2−4y2≡3x2(4) donc si 7x2−4y2= 1, alors 3x2≡1(4).
D’après le tableau précédents, on a 3x2≡0(4) ou 3x2≡3(4) donc l’équation n’a pas de
solution.
3. (x+ 3)2≡1(4) ⇐⇒ x+ 3 ≡1(4) ou x+ 3 ≡3(4) ⇐⇒ x≡ −2(4) ou x≡0(4).
S={−2 + 4k, 4k/k ∈Z}.
2