Aujourd’hui, je vais vous faire apprendre ce que l’on appelle les congruences modulaires,
ainsi que des exemples d’exercices appliquant les congruences modulaires. Il faut d’abord
savoir que les congruences modulaires viennent de quelque chose de notre quotidien :
regardons par exemple une horloge : il est à 1 heure, puis à 2 heures, à 3 heures, et ainsi de
suite jusqu’à 12 heures, après il n’est plus à 13 heures, mais il revient à 1 heure : les
congruences modulaires semblent désormais avoir un rapport avec un cycle (en
l’occurence, un cycle de longueur 12 : 12 heures dans une horloge). Bon, maintenant, avec
cette idée en tête, nous allons passer à l’écriture mathématique. Si l’on note a, b et m trois
naturels strictement positifs, on dit que a est congru à b modulo m si et seulement si m
divise a - b. D’emblée, cette écriture paraît vraiment horrifiante et dégoûtante, mais il faut
toujours regarder avec des exemples : 1 est congru à 3 modulo 2 car 1 - 3 = -2 est divisible
par 2, ou plus simplement, -2 est pair. En fait, elle n’est pas si difficile que l’on pensait ! Mais
maintenant, à quoi servent ces congruences modulaires avec une écriture un peu bizarre ?
On va dès lors introduire des propriétés mathématiques (si il y a des variables, elles sont
des naturels strictement positifs) :
- a est congru à a modulo m
- si a est congru à b modulo m et c congru à d modulo n; ac est congru à bd modulo
mn.
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