solutions

Enseignement de spécialité : corrigé
bac 2010
1. Proposition 1 : « La similitude directe de centre A qui transforme I en O a pour
écriture complexe z0=(1 +i)z−1−2i. » VRAI
Puisque B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle π
2, le triangle
OAB est rectangle isocèle direct de sommet O. Or I est le milieu de l’hypo-
ténuse donc AO
AI =p2 et (−→
AI,−→ AO) =
π
4. La similitude de centre A qui trans-
forme I en O a pour rapport p2 et pour angle π
4. Son expression complexe est
z0=p2eiπ/4(z−zA)+zA=(1 +i)(z−2+i) +2−i=(1 +i)z−2−2i+i−1+2−i=
(1 +i)z−1−2i
Ou bien :
C’est une similitude (z0=az +b), f(2 −i)=···=2−iet f(3
2+3 2i)=···=0
Donc c’est une similitude de centre Aqui transforme Ien O, et on sait d’après
un théorème que celle-ci existe et est unique car A6= Iet A6=O.
2. Il se trouve que c’est exactement l’exercice 2 de la feuille Congruences : exemples,
mais celle-ci a été faite avant que ce sujet de bac ne paraisse !
Proposition 2 : « L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k−1 ; 3k−1) où k
est un entier relatif. » VRAI
Soit (x;y) un couple d’entiers vérifiant (e). Alors 3x−5y= −3+5 donc (e0) :
3(x+1) =5(y+1). Le nombre 5 divise 3(x+1) et 5 est premier avec 3. Selon le
théorème de Gauss, 5 divise x+1 et il existe un entier relatif ktel que x+1=5k
donc x=−1+5kpuis en remplaçant dans (e0), 5(y+1) =15kdonc y=3k−1.
On en déduit que, si (x;y) est solution de (e) alors il existe un entier relatif k
tel que (x;y)=(−1+5k;−1+3k).
Réciproquement, s’il existe un entier relatif ktel que (x;y)=(−1+5k;−1+
3k), le couple (x;y) est un couple d’entiers relatifs vérifiant (e). En effet,
3×(−1+5k)−5×(−1+3k)=2.
L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k−1 ; 3k−1) où kest un entier
relatif.
3. Proposition 3 : « Il existe des couples (x;y) d’entiers relatifs solutions de (E)
qui ne sont pas des couples de multiples de 3. » FAUX
On construit le tableau des congruences modulo 3 de xet de x2:
x012
x2014≡1
Si xou yn’est pas multiple de 3 alors x2ou y2est congru à 1 modulo 3 et
la somme x2+y2est congrue à 1 ou 2 modulo 3 et n’est jamais congrue à 0
modulo 3.
4. Proposition 4 : « Pour tout entier naturel k(2 6k6n), le nombre n!+kn’est
pas un nombre premier. » VRAI
Pour tout entier naturel ktel que 2 ≤k≤non sait que kdivise n! donc, par
divisibilité de la somme, kdivise aussi n!+k,kest donc un diviseur de n!+k.
Or n>2, donc n!>0, donc n!+k>ket d’autre part k>2, donc k>1.
n!+kest divisible par kavec 1 <k<n!+k, donc n!+kn’est pas premier.
5. Proposition 5 : « Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le
PPCM sont solutions de l’équation (E0). »FAUX
Les solutions de cette équation du second degré sont 12 et 40.
Pour deux nombres aet b, si d=PGCD(a,b) et m=P PC M(a,b), ddivise a
et b, qui divisent chacun m, donc ddivise mpar transitivité, et d6m.
Or ici 12 ne divise pas 40, donc la propriété est fausse.