Loi binomiale 4 - Les leçons de mathématiques à l`oral du CAPES

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Loi binomiale
4
Leçon no
Niveau Première S + SUP (Convergence)
Prérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson
Références [11], [12], [13], [14]
4.1 Loi de Bernoulli
Définition 4.1 — Loi de Bernoulli. Soit Eune épreuve comportant deux issues (succès et échec). On
note pla probabilité de succès. Soit Xla variable aléatoire qui est égal à 1en cas de succès et 0
sinon. Alors, on dit que Xsuit un loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors X∼Bern(p).
R4.2 Si X∼Bern(p), on notera :
P(X= 1) = pet P(X= 0) = 1 −p=q.
Exemple 4.3 On lance un dé non pipé. On note Xla variable aléatoire qui prend comme valeur 1si
la face 6apparaît lors du lancer et 0sinon.
La variable aléatoire Xest une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètres 1/6.
Donc X∼Bern(1/6).
Lemme 4.4 Si X∼Bern(p)alors X2∼Bern(p).
Développement
•Preuve On a X2(Ω) = {0,1}et :
P(X2= 1) = P(X= 1) = p
donc X2∼Bern(p). •
Proposition 4.5 Si X∼Bern(p)alors :
1. E(X) = p
2. Var(X) = pq.
Développement
•Preuve On a :
E(X) = P(X= 0) ×0 + P(X= 1) ×1 = q×0 + p×1 = p,
et :
Var(X) = E(X2)−E(X)2=E(X2)−p2
or X2∼Bern(p), donc on a : E(X2) = E(X) = p.
Ainsi, Var(X) = p−p2=pq. •
4.2 Loi binomiale

10 Leçon no4•Loi binomiale
Définition 4.6 — Loi binomiale. Soit Ωl’univers associé à une expérience aléatoire. Soit Xune va-
riable aléatoire définie sur Ω. On dit que Xsuit une loi binomiale de paramètres n∈N∗et p∈[0 ,1]
lorsque :
1. X(Ω) = {0,1, . . . , n};
2. pour tout k∈ {0,1, . . . , n},P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k=n kpkqn−k.
Si Xsuit une loi binomiale de paramètres net palors on note X∼Bin(n, p).
R4.7 Soit X∼Bin(n, p). On a bien défini une variable aléatoire car :
n
X
k=0
P(X=k) =
n
X
k=0 n0k
pk
qn−k= [p+ (1 −p)]n= 1.
Théorème 4.8 Soit Eune épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note pla probabi-
lité de succès. On note nfois, de façons indépendantes, l’épreuve E. Soit Xla variable aléatoire
correspondant au nombre de succès. Alors : Xsuit une loi binomiale de paramètres net p.
Développement
•Preuve La probabilité d’avoir ksuccès suivis de n−ksuccès suivis de n−kéchecs est : pk(1−p)n−k.
Mais les succès et les échecs n’apparaissent pas nécessairement dans cet ordre.
On considère l’ensemble des « mots »de nlettres qui ne contiennent que des S(Succès) et des E
(Échecs). On sait qu’il y en a exactement n
pqui contiennent exactement kfois la lettre S(et donc n−k
fois la lettre E).
On en déduit m
P(X=k) = n
ppk(1 −p)n−k
et ceci pour tout k∈ {0,1, . . . , n}. •
R4.9
1. La probabilité d’avoir nsuccès : P(X=n) = pnet d’avoir aucun succès P(X= 0) = qn. Par
conséquent, la probabilité d’avoir au moins un succès est :
P(X≥1) = 1 −P(X= 0) = 1 −qn.
2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale où l’épreuve En’est réalisée qu’une seule
fois.
3. Toute variable aléatoire Xsuivant une loi binomiale de paramètres n∈N∗et p∈[0 ,1] peut s’écrire
comme somme X=X1+··· +Xnoù, pour tout k∈ {0,1, . . . , n},Xkest une variable aléatoire
suivant une loi de Bernoulli de paramètre p(Xkvaut 1en cas de succès à la keréalisation de Eet 0
sinon).
Exemples 4.10 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p=3
4. On suppose qu’il fait deux
tirs et on note Xla variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X= 0,
1ou 2).
1. Calculer la probabilité des événements {X= 0},{X= 1}et {X= 2}.
2. Calculer P2
k=0 P(X=k).
3. On suppose qu’il fait sept tirs et on note Yla variable aléaoire associant à cette épreuve le
nombre de succès obtenus. Calculer P(X= 1) et P(X= 2).

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 11
Théorème 4.11 — Espérance et variance d’une loi binomiale. Si X∼Bin(n, p)avec n∈N∗et
p∈[0 ,1] alors :
E(X) = np et Var(X) = npq.
Développement
•Preuve Puisque X∼Bin(n, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X1, X2, . . . , Xndéfinies
sur Ωindépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre ptelles que X=Pn
i=1 Xi.
Par linéarité de l’espérance :
E(X) = E n
X
i=1
Xi!=
n
X
i=1
E(Xi)
et d’après ce qui précède :
E(X) =
n
X
i=1
p=np.
De même pour la variance :
Var(X) = Var n
X
i=1
Xi!=
n
X
i=1
Var(Xi) =
n
X
i=1
pq =npq.
•
Exemple 4.12 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p=3
4. On suppose qu’il tire n=
7fois. On note Xla variable aléatoire associant à cette expérience aléatoire le nombre de succès
obtenus. Calculer son espérance et sa variance. 
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux
4.3.1 Définitions et propriétés
Définition 4.13 — Combinaisons. Soient net pdeux entiers naturels et Eun ensemble contenant n
éléments. Un sous-ensemble de Econtenant péléments est appelé une combinaison de péléments
de E.
Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant néléments est noté n
pou n p.
Exemple 4.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numéros parmi 5. On veut savoir combien il y a
de grilles possibles. Considérons une grille quelconque (c’est-à-dire une 3-combinaison de l’ensemble
des 5numéros) : par exemple {1,3,4}. Il y a 3! façons possibles d’ordonner ces nombres. Or, il y a
5
3×3! suites de 3nombres ordonnées. Mais, on compte 5×4×3de ces dernières suites. Donc :
5
3!=5×4×3 3! .
On peut maintenant généraliser la formule :

12 Leçon no4•Loi binomiale
Proposition 4.15 Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant néléments est noté
n
p!=n(n−1)(n−2) ·(n−(p−1)) p!(4.1)
=n!
p!(n−p)! (4.2)
Développement
•Démonstration de la proposition 4.15 On part de la formule (4.1) pour arriver à la formule (4.2) :
n
p=n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1) p!
=n(n−1)(n−2) ···(n−p+ 1)
p!
(n−p)(n−p−1) ···2×1
(n−p)(n−p−1) ···2×1
=n!
p!(n−p)!
Une autre façon de voir la formule (4.2). Il y a Ap
nmanières de tirer pobjets parmi nen les ordonnant
soit
Ap
n=n!
(n−p)!.
Une fois les pobjets tirés, il y a p!manières de les ordonner. Il y a donc Ap
n
p!manières de tirer pobjets
parmi sans les ordonner. D’où
n
p=Ap
n
p!=1 p!
n!
(n−p)!.
•
Définition 4.16 — Coefficients binomiaux. Soit pun entier naturel non nul. Les nombres n
psont
appelés les coefficients binomiaux.
Proposition 4.17 — Formule de Pascal. Soit n, p ∈Ntel que p<n.Ona:
n
p!= n−1 p!+ n−1 p−1!.
Développement
•Démonstration de la formule de Pascal Soit un ensemble Eànéléments. On suppose que l’on
a « extrait » une partie à péléments. Si l’on retire un élément {a}àE, c’est soit un élément de la
combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p−1restants forment une partie de l’ensemble E\{a}
de cardinal n−1, et dans le second, ce sont les péléments qui forment une partie de E\ {a}. Cette
union étant disjointe, les cardinaux s’ajoutent pour aboutir à l’égalité demandée. •
Proposition 4.18 — Formule itérée de Pascal. Soit p≤ndeux entiers naturels. Alors
n
X
k=p k
p!= n+ 1 p+ 1!.

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 13
n\p0123···
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
....
FIGURE 4.1 – Triangle de Pascal
Développement
•Démonstration de la formule itérée de Pascal On effectue une récurrence sur l’entier n.
Initialisation Lorsque n=p, les deux membres valent 1.
Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang net on montre qu’elle est encore vraie au rang
n+ 1 :
n+1
X
k=pk
p=
n
X
k=pk
p+n+ 1 p
et d’après l’hypothèse de récurrence,
n+1
X
k=pk
p=p+ 1 n+ 1+n+ 1 p=n+ 2 p+ 1.
La dernière égalité est justifiée par l’emploi de la formule de Pascal.
•
On note A=C(ou Rou Qou Z).
Théorème 4.19 — Formule du binôme. Soient deux éléments a, b de Aqui commutent. Alors :
∀n∈N,(a+b)n=
n
X
k=0 n
k!akbn−k.
Développement
•Démonstration de la formule du binôme de Newton On démontre la formule par récurrence sur
n.
Initialisation Lorsque n= 0, les deux membres sont égaux à 1(avec le cas échéant la convention
00= 1).
Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang net on montre qu’elle est encore vraie au rang