MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.
Ex.1 Soit r≥1un entier et p∈(0,1). On définit pk=k−1
t−1pr(1 −p)k−r, pour k≥r.
Montrez que (pk, k ≥r)définit une fonction de masse de probabilité (pmf ).
Ex.2 Supposons qu’on tire nboules avec remplacement à partir d’une urne qui contient N1
boules noires et N−N1boules blanches. On pose p=N1/N (la proportion de boules noires
dans l’urne) et Xncomme étant le nombre de tirages qu’il a fallu jusqu’à ce qu’on ait tiré
rboules noires, pour un certain r∈ {1,2, . . . ,n}fixé. Si le nombre de boules noires tirées
après le ne tirage est plus petit que n, alors on pose Xn=∞. Montrez que pour tout k≥r,
P(Xn=k)→pkquand n→+∞.(1)
Ex.3 Combien de fois (n) faut-il lancer un dé (à six faces bien équilibré) pour que la
probabilité d’obtenir au moins un “6” soit plus grande que 0,95?
Ex.4 Soit y≥0et λ > 0. Prouvez rigoureusement que
1
nX
1≤k≤yn1−λ
nk
→Zy
0
e−λt dt, quand n→+∞.(2)
Ex.5 Soit λ > 0. Montrer que la fonction fλ(x) := λe−λt {t≥0}est une densité.
Ex.6 Soit (Ω,A, P )l’espace de probabilité où Ω = (0,1],Aest la sigma-algèbre de Borel
(notée B((0,1])), et où P((a,b]) = b−apour tout intervalle (a,b]⊆(0,1] (ce qui est suffisant
pour définir tout P, cf. Théorème d’équivalence entre mesure de probabilité et fonction de
distribution (Pvs F)). Montrer que
X(ω) = −1
λlog1−ω λ(3)
suit une distribution exponentielle.
Ex.7 (difficile) Soit Fune fonction de distribution continue et strictement croissante. Com-
ment construire une variable aléatoire Xsur l’espace mesurable ((0,1],B((0,1])) de l’exercice
précédent qui a comme fonction de distribution la fonction Fdonnée.
Ex.8 Supposons que, d’une urne contenant au départ Nboules dont N1sont noires, on tire
des boules sans remplacement jusqu’à ce que l’on tire une boule noire. On pose Xle nombre
de tirage effectués. Déterminez la pmf associée à X, c’est-à-dire, déterminez P(X=k),
pour tout k∈ K (où Kest un ensemble indices approprié).
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