8 Loi binomiale

8 Loi binomiale
8.1 Loi de Bernoulli
Définition :•Pour une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une Sappelée « suc-
cès » de probabilité pet l’autre Sappelée « échec » de probabilité q= 1 −p, la variable
aléatoire Xqui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable
aléatoire de Bernoulli.
•La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre
p:
X=xi0 1
P(X=xi) 1 −p p
Théorème : Si la variable aléatoire Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors son
espérance mathématique est égale à p:E(X) = p
Preuve :E(X) =
i=2
X
i=1
xiP(X=xi) = 0 ×(1 −p) + 1 ×p=p.
8.2 Loi binomiale
Définition :•L’expérience aléatoire consistant à répéter nfois de manière indépendante
une épreuve de Bernoulli de paramètre ps’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n
et p.
•La loi de probabilité de la variable aléatoire Xégale au nombre de succès au cours de ces
népreuves s’appelle la loi binomiale de paramètres net p, notée B(n;p).
Exemples :•Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le
tirage d’une boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en
réintroduisant dans l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire Xqui compte
le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de
paramètres n= 6 et p=3
5:BÅ6 ; 3 5ã.
•La variable aléatoire Xqui compte le nombre de « pile » obtenus lors de 20 lancers successifs
d’une pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale BÅ20 ; 1
2ã.
Cas simples :n= 2 ou n= 3
Pour n= 2 ou n= 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de
paramètres net p:
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Maths 1es-1l 8. Loi binomiale prog 2010
pS
pS
qS
q
S
pS
qS
P(X= 2) = P({SS}) = p2
P(X= 1) = P({SS,SS}) = 2pq
P(X= 0) = P({S S}) = q2
On constate que : P(X= 2) + P(X= 1) + P(X= 0) = p2+ 2pq +q2= (p+q)2= 1
pS
pS
qS
pS
qS
pS
qS
q
S
pS
qS
pS
qS
pS
qS
P(X= 3) = P({SSS}) = p3
P(X= 2) = P({SSS,SSS,SSS}) = 3p2q
P(X= 1) = P({SS S,SSS,S SS}) = 3pq2
P(X= 0) = P({S S S}) = q3
On peut vérifier que :
P(X= 3) + P(X= 2) + P(X= 1) + P(X= 0) = p3+ 3p2q+ 3pq2+q3= (p+q)3= 1
8.3 Coefficients binomiaux
Lorsque nest supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir
ksuccès sur nexpériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues
composées de ksuccès et n−kéchecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces
issues a la même probabilité pkqn−k.
Définition : Soit nun entier naturel non nul et kun entier compris entre 0 et n(0 6k6n).
Le nombre de chemins réalisant ksuccès lors de nrépétitions dans l’arbre d’un schéma de
Bernoulli est appelé coefficient binomial de kparmi net noté Çn
kå.
Exemples :•Pour n= 2 dans l’arbre ci-dessus Ç2
2å= 1 ; Ç2 1å= 2 et Ç2 0å= 1.
•Pour n= 3 dans l’arbre ci-dessus Ç3
3å= 1 ; Ç3 2å= 3 ; Ç3 1å= 3 et Ç3 0å= 1.
Calcul des coefficients binomiaux : On utilise une calculatrice (ou un tableur) pour calculer un
coefficient binomial : Ç10
7å= 120 ; Ç10 5å= 252 ; Ç10 3å= 120.
Théorème : Si la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres net p,B(n;p),
alors pour tout entier k, 0 6k6n:P(X=k) = Çn
kåpk(1 −p)n−k.
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Maths 1es-1l 8. Loi binomiale prog 2010
Preuve : L’événement « X=k» comporte Çn
kåissues puisqu’il y a Çn kåchemins réalisant ksuccès et n−k
échecs. Les issues ayant toutes la même probabilité pkqn−k, on obtient bien le résultat P(X=k) = Çn
kåpkqn−k
avec q= 1 −p.
Exemples :•Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire
Xégale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale. Sa loi de probabilité est
donnée par :
P(X=k) = Ç6
kå×Å3
5ãk
×Å2
5ãn−k
, pour 0 6k6n
alors :
P(X= 0) = 6
0×Ä3
5ä0×Ä2 5ä6= 1 ×0,46≈0,0041,
P(X= 1) = 6
1×0,6×0,45≈6×0,0061 ≈0,0369,
P(X= 2) = 6
2×0,62×0,44≈15 ×0,0092 ≈0,1382,
P(X= 3) = 6
3×0,63×0,43≈20 ×0,0138 ≈0,2765,
P(X= 4) = 6
4×0,64×0,42≈15 ×0,0207 ≈0,3110,
P(X= 5) = 6
5×0,65×0,4≈6×0,0311 ≈0,1866,
P(X= 6) = 6
6×0,66≈1×0,0467 ≈0,0467.
Théorème (admis) : Si la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres net p,
B(n;p), alors son espérance mathématique est E(X) = np.
Exemples :•Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance mathématique est
6×3
5= 3,6.
•Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance mathématique du nombre de « pile » (ou
« face ») est de E(X) = 20 ×1
2= 10.
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bac – 32 – v1.618