Loi binomiale - Sebjaumaths

Chapitre VI
Loi binomiale
BTS AVA
Loi binomiale
1
Loi de Bernoulli
Dénition 1 :
Une expérience de Bernoulli de paramètre p est une expérience qui ne comporte que deux
issues :
• le succès (notée S ), avec p(S) = p.
• l'échec ( noté S̄ ), avec p(S̄) = 1 − p.
Exemple 1 :
Une urne contient 10 boules : 7 sont rouges et 3 sont bleues. Un joueur tire une boule au
hasard dans l'urne. On notera succès l'évènement :" la boule est rouge ".
On a donc p(S) = .............
Et p(S̄) = .............
Dénition 2 :
Soit une expérience de Bernoulli de paramètre p et X la variable aléatoire prenant la
valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec.
La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
On a donc :
xi
0
1
P (X = xi )
1−p
p
Exemple 2 :
Dans l'exemple précédent, la variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et
la valeur 0 en cas d'échec soit la loi de Bernoulli de paramètre ............ , et on a :
xi
0
1
P (X = xi )
.............
.............
Propriété 1 :
Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p on a :
p
E(X) = p et V (X) = p(1 − p) et σ(X) = p(1 − p)
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Loi binomiale
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Loi de binomiale
Dénition 3 :
Lorsqu'on répète n fois, dans des conditions identiques et indépendantes, une même
expérience de Bernoulli de paramètre p, alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X
qui associe le nombre de succès obtenus au bout des n répétition, est appelée loi binomiale
de paramètres n et p. On note alors :
X ∼ B(n, p)
On a, pour tout entier k en entre 0 et n :
n
P (X = k) =
pk × (1 − p)n−k
k
Exemple 3 :
Pour une urne contenant 7 boules rouges et 3 boules bleues. Le joueur décide de tirer 5
fois consécutivement, en remettant à chaque tirage la boule dans l'urne. On note X la
variable aléatoire associant le nombre de boules rouges obtenues au bout des 5 tirages.
On a donc :
X ∼ B(......, ......)
La probabilité d'obtenir exactement 3 boules rouges et donc 2 boules bleues est :
P (X = 3) = .........................................
Propriété 2 :
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors
p
E(X) = np et V (X) = np(1 − p) et σ(X) = np(1 − p))
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