Etude directe de la variable aléatoire binomiale

Etude directe de la variable aléatoire binomiale
Soit une expérience aléatoire ε dont le résultat est soit « réussi » (avec une probabilité p), soit
« loupé » (avec une probabilité donc de 1 – p, que nous poserons = q pour simplifier l’écriture).
Supposons que l’on exécute n fois l’épreuve précédente (toutes considérées indépendantes).
Définissons la variable aléatoire X qui compte le nombre k de « réussites » parmi les n essais.
! n $ k n'k
On a alors : P( X = k) = #
&pq .
" k %
On dit que X suit une loi binomiale (ℬ !; ! de paramètres n et p).
n
Théorème. 1) ! P( X = k) = 1
k=0
Preuve.
1) !!!! ! ! = ! =
!
!!!
2) µ = np
3) ! 2 = V ( X ) = npq
! ! !!!
! !
= (! + 1 − ! )! = 1 par la formule du binôme.
!
!
! !−1
=
par un simple calcul.
! !−1
!
! ! !!!
! !−1
!! = ! ! = !!!! ! ! = ! · ! = !!!!
! !
· ! = !!!! !
!! !!!! · ! =
!
!−1
2) Petit lemme préalable : On a
!
= !"
!!!
! − 1 !!! !!!
! !
= !"
!−1
!!!
!!!
! − 1 ! !!!!!
! !
= !" ! + !
!
!!!
= !" où l’on a utilisé k – 1 = j, le théorème binomial et enfin que ! + ! = 1 ∗
Autre méthode !
n !
n !
n $ k n'k
n $ k n'k k'1
Pour déterminer ( #
posons
p
q
k
f
(t)
=
(
&
#
& p q kt . Or une primitive de
k=0 " k %
k=1 " k %
n !
n !
n
n $ k n'k k n ! n $
n $
f est F(t) = ( #
p q t = (#
( pt) k q n'k = ( #
( pt) k q n'k ' 1 = ( pt + q ) ' 1
&
&
&
k=1 " k %
k=1 " k %
k=0 " k %
d’où f (t) = np ( pt + q )
n!1
n !
n'1
n $ k n'k
et alors f (1) = ( #
(**).
p q k = np ( p + q )
&
k=0 " k %
3) Par König ! ! = !! ! − !! ! = !! ! − !" ! . Calculons donc !! ! .
n !
n n!
n !
$
$
$
µ X 2 = ( # n & p k q n'k k 2 = ( # n ' 1 & p k q n'k k 2 = np ( # n ' 1 & p k'1q n'k k =
k=0 " k %
k=1 k " k ' 1 %
k=1 " k ' 1 %
j=k'1
distribut.
n !
n'1 ! n ' 1 $
n ' 1 $ k'1 n'k
j n' j'1
= np ( #
p
q
(k
'
1)
+
1
=
np
p
q
j
+
1
=
(
(
)
(
)
#
&
&
+ thm bin.
j %
k=1 " k ' 1 %
j=0 "
(**)
n'1 ! n ' 1 $
n'1
n'2
n'1
j n'1' j
= np ( #
p
q
j
+
np
p
+
q
= n(n ' 1) p 2 ( p + q ) + np ( p + q )
(
)
&
j %
j=0 "
(*)
= np ( (n ' 1) p + 1) = np ( np + q )
D’où V ( X ) = np(np + q) ! (np)2 = npq .