Etude directe de la variable aléatoire binomiale

Etude&directe&de&la&variable&aléatoire&binomiale
Soit une expérience aléatoire
ε
dont le résultat est soit « réussi » (avec une probabilité p), soit
« loupé » (avec une probabilité donc de 1 – p, que nous poserons = q pour simplifier l’écriture).
Supposons que l’on exécute n fois l’épreuve précédente (toutes considérées indépendantes).
Définissons la variable aléatoire X qui compte le nombre k de « réussites » parmi les n essais.
On a alors :
P(X=k)=n
k
!
"
#$
%
&pkqn'k
.
On dit que X suit une loi binomiale (ℬ!;!de paramètres n et p).
Théorème. 1)
P(X=k)
k=0
n
!=1
2)
µ =np
3)
!
2=V(X)=npq
Preuve.
1) !!=!=!
!!!!!!!=(!+1−!)!
!
!!!=1
!
!!! par la formule du binôme.
2) Petit lemme préalable : On a !
!=!
!
!−1
!−1 par un simple calcul.
!!=!!=!!=!·!
!
!!!=!
!!!!!!!·!
!
!!!=!!
!
!−1
!−1!!!!!!·!
!
!!!!=
=!" !−1
!−1!!!!!!!!
!
!!!
=!" !−1
!!!!!!!!!
!!!
!!!
=!" !+!!!!=!"!
où l’on a utilisé k – 1 = j, le théorème binomial et enfin que !+!=1!∗
Autre méthode !
Pour déterminer
n
k
!
"
#$
%
&pkqn'k
k=0
n
(k
posons
f(t)=n
k
!
"
#$
%
&pkqn'kk
k=1
n
(tk'1
. Or une primitive de
f est
F(t)=n
k
!
"
#$
%
&pkqn'k
k=1
n
(tk=n
k
!
"
#$
%
&(pt)kqn'k
k=1
n
(=n
k
!
"
#$
%
&(pt)kqn'k
k=0
n
('1=pt +q
( )
n'1
d’où
f(t)=np pt +q
( )
n!1
et alors
f(1) =n
k
!
"
#$
%
&pkqn'k
k=0
n
(k=np p +q
( )
n'1
(**).
3) Par König !!=!!!−!!
!=!!!−!" !. Calculons donc !!!.
µ
X2=n
k
!
"
#$
%
&pkqn'k
k=0
n
(k2=n
k
n'1
k'1
!
"
#$
%
&pkqn'k
k=1
n
(k2=np n'1
k'1
!
"
#$
%
&pk'1qn'k
k=1
n
(k=
=np n'1
k'1
!
"
#$
%
&pk'1qn'k(k'1) +1
( )
k=1
n
(=
j=k'1
np n'1
j
!
"
#$
%
&pjqn'j'1j+1
( )
j=0
n'1
(=
+ thm bin.
distribut.
=np n'1
j
!
"
#$
%
&pjqn'1'jj
j=0
n'1
(+np p +q
( )
n'1=
(**)
n(n'1) p2p+q
( )
n'2+np p +q
( )
n'1
=
(*)
np (n'1) p+1
( )
=np np +q
( )
D’où
V(X)=np(np +q)!(np)2=npq
.