Chapitre 9

Mathématiques Indice 1re ES-L © Bordas
Corrigés
Chapitre 9 Loi binomiale et applications
Avant de commencer
1 Réponse D.
P(X4) =P(X =0) + P(X =1) + P(X =2) + P(X =3) + P(X =4) = 0,79.
2Réponse B.
P(1  X6) =P(X =2) + P(X =3) + P(X =4) + P(X =5) + P(X =6).
On a donc P(1  X6) =1 – (P(X =0) + P(X =1) + P(X =7)) = 1 – 0,17 = 0,83.
3Réponses B, C et D.
P(3  X 5) =P(X =3) + P(X =4) + P(X =5) =0,55.
Par ailleurs P(X5) –P(X2) = P(X =3) + P(X =4) + P(X =5).
Donc P(3  X 5) =P(X 5) – P(X 2).
4Réponse A. P(A se réalise 3 fois) =0,43 =0,064.
5Réponse D. P(A se réalise exactement 1 fois) =0,4  0,62 3 =0,432
En effet, on s’intéresse ici aux événements A A A , AA A et A A A.
6 Réponse B.
P(A se réalise au moins 1 fois) =1 – P(A ne se réalise aucune fois)
=1 – 0,63 =0,784.
7P(3  X 5) =1 – P(X 2) = 1 – 0,43 = 0,57.
P(X =5) =1 – P(X 4) =1 – 0,69 =0,31.
81.
B
B
B
0,7
0,7
0,7
0,3
R
0,3
0,3
R
R
2. P(BB) =0,7  0,7 =0,49.
3. P(BR) +P(RB) =0,7  0,3 +0,3  0,7 = 0,42.
4. P(au moins une perle rouge) = 1 – P(aucune perle rouge) =1 – 0,72 =0,51.
9
p
p
p
p
q
q
q
q
p
q
p
q
p
q
S
S
S
S
E
E
E
E
S
E
S
E
S
E
Il existe 3 chemins de l’arbre qui permettent d’obtenir deux fois l’issue
S: les chemins correspondants aux événements SSE, SES et ESS.
Pour faire le point
1Réponse C. Les tirages sont successifs et avec remise: la variable
aléatoire X comptant le nombre de succès suit bien une loi binomiale de
paramètres n et p. On tire 5 boules, donc n =5 et la probabilité d’avoir
une boule rouge à chaque tirage est 18
30 , soit 0,6, donc p =0,6.
2Réponse B. Les tirages sont successifs sans remise, donc il n’y a pas
indépendance entre les épreuves: Y ne suit pas une loi binomiale.
3Réponse C. 20
5
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ est égal à 15504.
4Réponse B.
n
0
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+n
1
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+n
n
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ = 1 +n +1 =n +2.
5Réponse A. P(X =5) ≈ 0,103, à l’aide de la calculatrice.
6Réponse C. À l’aide de la calculatrice:
P(2 X 7) =P(X 6) – P(X 1) ≈ 0,840.
7Réponse B. La variable aléatoire X qui est égale au nombre de voi-
tures en panne deux ans plus tard suit la loi binomiale de paramètres
n =5 et p =0,2.
La probabilité pour que les cinq voitures soient en service est
P(X =0) ≈ 0,328.
8Réponse B. La variable X est la même que dans la question 7.
La probabilité pour que trois voitures exactement soient en panne est
P(X =3)≈ 0,051.
9Réponse D. La variable X est la même que dans la question 7.
La probabilité pour que deux voitures au plus soient en panne est
P(X 2) ≈ 0,942.
10
Réponse C. Soit X la variable aléatoire qui, à un échantillon de
100patients, associe le nombre de décès après une certaine maladie :
X suit la loi binomiale de paramètres n =100 et p =0,3.
P(X 20) ≈ 0,016 et P(X 21) ≈ 0,029, donc le plus petit entier a tel
que P(Xa) > 0,025 est 21.
P(X 38) ≈ 0,966 et P(X 39) ≈ 0,979, doncle plus petit entier b tel
que P(Xb)  0,975 est 39.
Un intervalle de fluctuation au coefficient 0,95 de la proportion de décès
pour un échantillon de 100 patients est [0,21; 0,39].
11
Réponse B. Soit Y la variable aléatoire qui, à un échantillon de
200patients, associe le nombre de décès après une certaine maladie :
Y suit la loi binomiale de paramètres n =200 et p =0,3.
P(Y 43) ≈ 0,0044 et P(Y 44) ≈ 0,0071, donc le plus petit entier a tel
que P(Ya) > 0,005 est 44.
P(Y 76) ≈ 0,9937 et P(Y 77) ≈ 0,9959, doncle plus petit entier b tel
que P(Yb)  0,995 est 77.
Un intervalle de fluctuation au coefficient 0,99 de la proportion de
décès pour un échantillon de 200 patients est [0,22; 0,385], mais aussi
[0,22; 0,39].