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TS 3 Aide pour le devoir maison n° 3 Année 2010/2011
Exercice 2 :
a) Pour tout  , notons  la proposition «  1 et  est défini ».
Montrons, par récurrence sur , que  est vraie pour tout entier naturel .
…
b) • On a 2 et 1  √32.
Montrons, par récurrence sur , que la proposition  («    ») est vraie pour tout entier naturel .
Pour tout entier naturel ,    avec √1.
…
Utilisez cette fonction, en étudiant ses variations.
c) Pour tout  , notons  la proposition « √
 » et montrons, par récurrence, que cette propriété est
vraie pour tout entier naturel .
…
La fonction  précédente devrait encore être utile…
Vous aurez également besoin de montrer que √
√ .
Il suffit de revenir à la définition (vue en 4
ème
) de la racine carrée d’un nombre positif.
C’est le nombre positif dont…
Exercice 3 :
Soit  . Déterminons les réels , ! et " tels que #
$  %
…vous devriez obtenir :
Ainsi, pour tout   , 
&
Idée : Calculons les premiers termes de la suite .
' '
& (
' &
&
(
' &
…
Vous devriez voir apparaître quelque chose en additionnant les différents termes…
Pour être rigoureux, il n’y a « plus qu’à » montrer par récurrence que ce que vous pensez est bien vrai.