NOM : PRENOM : Questions de cours. (5 points) Tout est dans le

Lycée A.Maurois
2012-13 Evaluation: corrigé suites et complexes. T S
NOM :
PRENOM :
Questions de cours. (5 points) Tout est dans le cours !
EXERCICE 1 (8 points)
On considère la suite udéfinie sur Npar u0=−4 et, pour tout n,un+1=√un+6.
1. Par récurrence : la propriété est vraie au rang 1 puisque u1=√−4+6=√2 et donc on a bien 1 ≤u1≤3.
Soit nun entier naturel n≥1. Supposons que 1 ≤un≤3 soit vraie et montrons qu’alors 1 ≤un+1≤3
l’est aussi.
De 1 ≤un≤3 on déduit que √1+6≤√un+6≤√3+6=3 (racine est croissante sur R+)
soit encore 1 ≤√7≤un+1≤3, ce qui prouve le résultat attendu.
Conclusion : pour tout entier supérieur ou égal à 1 on a bien 1 ≤un≤3
2. D’après la question précédente, pour tout n≥1 on a 3 +un≥3+1=4 et donc 1
3+un≤1 4pour tout
entier n≥1.
3. Soit nun entier naturel, on a (3 −un+1)(3 +un+1)=9−(un+6) =3−unet donc, puisque 3 +un+1,0,
on a 3 −un+1=3−un
3+un+1
=(3 −un)1
3+un+1
.
Si n≥1 alors n+1>1 et d’après la question précédente et on a 0 ≤1
3−un+1≤1 4, donc puisque
3−un>0, on déduit par multiplication membre à membre que
0≤(3 −un)1
3+un+1≤(3 −un)×1 4
c’est-à-dire
0≤3−un+1≤(3 −un)×1
4
4. On montre par récurrence que pour tout nsupérieur ou égal à 1 on a 0 ≤3−un≤2
4n−1.
On a appelle Pnl’inégalité ci-dessus.
On a u1=√2 donc 3 −u1=3−√2≈1,6 et 2
41−1=2 donc l’inégalité P1est vraie.
Soit nun entier supérieur ou égal à 1 ; supposons que Pnsoit vraie et montrons qu’alors Pn+1l’est aussi
i.e. que l’inégalité 0 ≤3−un+1≤2
4n+1−1=2 4nest vraie.
Puisque 0 ≤3−un+1≤1
4(3 −un) et qu’on suppose que 0 ≤3−un≤2 4n−1il en résulte que
0≤3−un+1≤1
4(3 −un)≤1 4
2
4n−1=2 4n
ce qui prouve que Pn+1est bien vraie.
En conclusion : pour tout entier n≥1 on a bien 0 ≤3−un≤2
4n−1.
5. On définit les suites vet wpour tout n≥1 par vn=0 et wn=2
4n−1et on a donc vn≤3−un≤wn.
Puisque la suite west géométrique de raison 1/4∈]−1; 1[ on sait qu’elle converge vers 0. Il en est de
même de la suite v.

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Ces conditions permettent d’appliquer le théorème des gendarmes et de conclure que
lim
n→+∞3−un=0
ce qui revient à dire que
lim
n→+∞un=3
EXERCICE 2 (7 points)
1. z=√2−i
2i+√2
=(√2−i)(−2i+√2)
6=−√2i 2
2. Soit z=2+3i
4+i.z=2−3i 4−i
=(2 −3i)(4 +i)
17 =11 −10i 17 =11 17 −10 17i.
3. Si z,0,5ion a
1−z
1+2iz
=√3
2i⇐⇒ 2i−2iz =√3+2√3iz
soit
z=√3−2i
2(−1−√3)i
=2+√3i
2(1 +√3)
=1
(1 +√3)
+√3
2(1 +√3)i
4. Dans Con pose z=x+iy
z=1+i
1−iz⇐⇒ z=iz ⇐⇒ x−iy =ix −y
Or deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire d’où l’ensemble
des solutions de l’équation :
c’est l’ensemble des complexes de la forme x−xi =x(1 −i) où x∈R.
5. le module de z=x+iy vaut px2+y2.
Le module de z=√2+iest |z|=√3. Le plan étant rapporté à un repère (O,~ u,~ v) orthonormé, soit Mle
point d’affixe z. Alors |z|=OM
6. BONUS (0.75)
Résoudre dans Cl’équation d’inconnue z: 3z2=5z−4