DM n° 4 à rendre le 6 octobre - MPSI La Martinière Monplaisir

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2016/2017
MPSI - Mathématiques le 29 septembre
Devoir à la maison n°04
À rendre le 06 octobre
I. Nombres de Catalan
On pose C0= 1 et l’on définit par récurrence, pour tout n∈N,Cn+1 =
n
X
k=0
CkCn−k.
1) Calculer C1,C2,C3,C4et C5.
2) Montrer par récurrence simple que, pour tout n∈N,Cn>2n−1.
3) Montrer par récurrence (forte ou multiple, à vous de choisir) que, pour tout n∈N,Cn>3n−2.
4) Tenter de montrer par une récurrence similaire à celle de 3) que pour tout n∈N,Cn>4n−2. À
quel endroit ceci échoue-t-il ?
II. Système linéaire et puissances de matrice
On introduit les matrices
A=
−4 1 8
−5 1 11
−1 0 3
et P=
1−1 2
−103
1−1 1
.
1) Soit Y=
t
u
v
∈M3,1(R). Résoudre en Xle système P X =Y.
2) En déduire que Pest inversible ainsi que l’expression 1de P−1.
3) Calculer N=P×A×P−1.
4) Calculer N2,N3et en déduire une expression de Nn, pour tout entier naturel n.
5) En déduire une expression de An, pour tout entier naturel n.
6) La matrice Aest-elle inversible ?
— FIN —
1. La suite de l’exercice dépend de cette réponse, il vous est fortement conseillé de vérifier votre calcul d’inverse.
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