DM n° 4 à rendre le 6 octobre - MPSI La Martinière Monplaisir

Lycée La Martinière Monplaisir Année 2016/2017
MPSI - Mathématiques le 29 septembre
Devoir à la maison n°04
À rendre le 06 octobre
I. Nombres de Catalan
On pose C0= 1 et l’on définit par récurrence, pour tout nN,Cn+1 =
n
X
k=0
CkCnk.
1) Calculer C1,C2,C3,C4et C5.
2) Montrer par récurrence simple que, pour tout nN,Cn>2n1.
3) Montrer par récurrence (forte ou multiple, à vous de choisir) que, pour tout nN,Cn>3n2.
4) Tenter de montrer par une récurrence similaire à celle de 3) que pour tout nN,Cn>4n2. À
quel endroit ceci échoue-t-il ?
II. Système linéaire et puissances de matrice
On introduit les matrices
A=
4 1 8
5 1 11
1 0 3
et P=
11 2
103
11 1
.
1) Soit Y=
t
u
v
M3,1(R). Résoudre en Xle système P X =Y.
2) En déduire que Pest inversible ainsi que l’expression 1de P1.
3) Calculer N=P×A×P1.
4) Calculer N2,N3et en déduire une expression de Nn, pour tout entier naturel n.
5) En déduire une expression de An, pour tout entier naturel n.
6) La matrice Aest-elle inversible ?
— FIN —
1. La suite de l’exercice dépend de cette réponse, il vous est fortement conseillé de vérifier votre calcul d’inverse.
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