Ensemble N, récurrence et calculs de sommes

Marino Alexandre Feuille d’exercices 3
Massena ECS 1
Ensemble N, récurrence et calculs de sommes
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
Récurrence et propriétés des entiers
Exercice 1 : Si on note Pl’ensemble des nombres premiers, montrer que ∀n≥2,∃p∈Ptel que pdivise n.
(*)Exercice 2 : Montrer que
1. ∀n∈N,
n
P
k=0
k(k+ 1) = n(n+1)(n+2)
3
2. ∀n∈N∗,
n−1
P
k=0
(2k+ 1)3= 2n4−n2
3. ∀n∈N,
n
P
k=0
(2k+ 1) = (n+ 1)2
4. ∀n∈N,
n
P
k=0
k(k!) = (n+ 1)! −1
Exercice 3 : Montrer : ∃n0∈N,∀n≥n0,2n> n2. (déterminer n0)
Exercice 4 :
1. Montrer que pour tout entier nnon nul, 9divise 10n−1.
2. Soit aune entier impair. Montrer que pour tout entier n non nul 2n+2 divise a2n−1.
(*)Exercice 5 : Montrer que si u≥ −1, alors pour tout n∈N,(1 + u)n≥1 + nu
Exercice 6 : Démontrer par récurrence que ∀n∈N∗,
2n
X
k=1
(−1)k+1
k=
n
X
k=1
1
n+k
Exercice 7 : Démontrer par récurrence que ∀n≥2,
n
P
k=1
1
kest le quotient d’un nombre impair par un nombre pair.
Sommes simples et doubles
(*)Exercice 8 : Calculer en fonction de nles quantités suivantes :
n
P
k=1
1,
n
P
k=1
k,
n
Q
k=1
n,
n
Q
k=1
k,
n
Q
k=2
(1 −1
k),
n
P
k=1
(3k−1),
Exercice 9 : Calculer les sommes suivantes où net psont deux entiers tels que 1≤p≤n:
S=
n
P
k=0
uk, T =
n
P
k=1
uk, U =
n
P
k=p
uk, V =
n+1
P
k=1
uk, W =
n
P
k=0
uk+1 , X =
2n
P
k=0
uk, Y =
n
P
k=0
u2k
dans chacun des cas suivants :
(a) uk=k, (b) uk=k2, (c) uk=xkavec x6= 1, (d) uk= 1, (e) uk=aavec a∈C∗.
(*)Exercice 10 : Calculer les sommes suivantes
1.
n
P
k=1
1
4k2−1
2.
n
P
k=1
ln(1 + 1
k)
3.
n
P
k=0
k(k+ 1)
4.
n
P
k=1
kxkoù x∈C\{1}.
(*)Exercice 11 : Calculer les sommes suivantes :
1.
n
X
k=0
akb2kc3k
2. X
i∈[[0;n]]
j∈[[0;n]]
i2j3
3. X
1≤i≤n
i+3
X
j=i
2j2i
4.
n
X
j=1
j
X
i=0xj
xi
5.
n2
X
k=0
k
X
i=0
i2
6. X
0≤i+j≤n
i≥0j≥0
(i+j)
7. (pet nfixés) X
0≤j≤n
j≤i
i−j≤p
(i−j)2
8.
n
P
i=1
n
P
j=1
i
i+j
1

(*)Exercice 12 :
1. Calculer P
1≤i,j≤n
min(i, j)
2. En déduire la valeur de P
1≤i,j≤n
max(i, j)
3. En déduire la valeur de P
1≤i,j≤n|i−j|
Exercice 13 : Montrer que pour n≥1,n! = Q
i+j=n+1, i≥1, j≥1
√ij
(*)Exercice 14 : Montrer par récurrence que pour tout t∈]0,2π[, (correction à lire attentivement)
n
X
k=0
cos(kt) = cos( nt
2) sin(n+1 2t)
sin( t
2)
Généralités sur les sommes
(*)Exercice 15 :
1. Remplacer les " ?" :
(a)
n
P
k=0
ak+1 =
?
P
k=?
ak
(b) Somme télescopique :
n
P
k=0
(ak+1 −ak) =?
(c) Produit télescopique :
n
Q
k=0
(ak+1/ak) =?
(d) "Sommation par parties" :
n
P
k=0
(ak+1 −ak)bk=? −
n
P
k=0
ak+1(bk+1 −bk)
2. Applications : calculer les sommes suivantes
n
P
k=1
1
k(k+1) ,
n
P
k=2
1
k2−1,
n
P
k=2
1
k3−k.
Exercice 16 : Manipulations sur les sommes doubles : Justifier les égalités suivantes
1. P
1≤i≤j≤n
ai,j =
n
P
j=1
?
P
i=?
ai,j =
n
P
i=1
?
P
j=?
ai,j
2. P
1≤i<j≤n
ai,j =
?
P
j=?
?
P
i=?
ai,j =
?
P
i=?
?
P
j=?
ai,j
3. (
n
P
k=1
ak)(
m
P
k=1
bk) =
n
P
i=1
m
P
j=1
aibj
4. Déduire des questions précédentes que :
(
n
X
k=1
ak)2=
n
X
i=1
n
X
j=1
aiaj=
n
X
k=1
a2
k+ 2 X
1≤i<j≤n
aiaj