Théorème : Formule du binôme Pour tous nombres complexes et et

Théorème : Formule du binôme
Pour tous nombres complexes  et  et pour tout entier naturel   1,
0
1   2 
1 
Remarque : On peut donner la formule avec le symbole Σ
Remarque :
Comme     et 
 pour tous entiers naturels  et  tels que 0    , on peut
également écrire :
Démonstration : Démontrons cette formule par récurrence sur   .
Soient  et  deux nombres complexes.
Pour tout entier naturel , notons  la proposition «   ∑
 ».
• Initialisation :    1 et
0
  0
0 1
Donc,  est vraie.
• Hérédité : Soit  un entier naturel.
Supposons que  est vraie, c’est-à-dire  ∑
 , et montrons que  est vraie, c’est-à-
dire   ∑  1
 .
Or          et par hypothèse de récurrence,   ∑
 .
On a donc :
      !
0
1   2 
 1  "
En développant, on obtient :
0 
1   2 
 1 
0  
1 2# 
1 
Regroupons les termes ayant les mêmes puissances de  et de . On obtient :
0 !
1
0"  !
2 1" !
1"
Or, pour tout entier naturel  tel que 1    , on a, d’après la formule de Pascal :
 1   1
De plus 
0  1    1
0 et 
  1   1
1.
On peut écrire :
    1
0  1
1 1 2  1
 1
1
Soit,
     1
 est vraie.
• Bilan : Pour tout entier naturel ,  ∑