Théorème : Formule du binôme Pour tous nombres complexes et et

Théorème : Formule du binôme
Pour tous nombres complexes et et pour tout entier naturel 1,
0
1
1
2
Remarque : On peut donner la formule avec le symbole Σ
Remarque :
pour tous entiers naturels et tels que 0 , on peut
Comme et également écrire :
Démonstration : Démontrons cette formule par récurrence sur .
Soient et deux nombres complexes.
Pour tout entier naturel , notons la proposition « ∑ ».
• Initialisation : 1 et
0
0
1
0
Donc, est vraie.
• Hérédité : Soit un entier naturel.
Supposons que est vraie, c’est-à-dire ∑ , et montrons que est vraie, c’est-à
1
dire ∑ .
Or et par hypothèse de récurrence, ∑ .
On a donc :
! "
0
1
1
2
En développant, on obtient :
0
1
1
2
# 0
1
1
2
Regroupons les termes ayant les mêmes puissances de et de . On obtient :
! " ! " ! " 0
0
1
1
2
1
Or, pour tout entier naturel tel que 1 , on a, d’après la formule de Pascal :
1
1
1
1
De plus 1 et 1 .
0
1
0
On peut écrire :
1 1 1
1 1 1
0
1
2
Soit,
est vraie.
1 • Bilan : Pour tout entier naturel , ∑