Corrections - XMaths

Exercice 04
Sn est la somme des nombres entiers de 1 à n :
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n
Cn est la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n :
1°) Par définition
S1 = 1
S2 = 1 + 2
donc S2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3
donc S3 = 6
S4 = 1 + 2 + 3 + 4
donc S4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
donc S5 = 15
d'autre part
C1 = 13
Cn = 13 + 23 + 33 + ... + n3
C2 =
13
C3 =
13
+
23
=1+8
+
23
33
C1 = 1
donc
C2 = 9
donc
C3 = 36
C4 = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64
donc
C4 = 100
C5 =
donc
C5 = 225
13
+
23
+
+
33
= 1 + 8 + 27
donc
+
43
+
53
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125
On peut conjecturer que Cn = (Sn)
2
2°) En utilisant l'algorithme ci-contre réalisé avec AlgoBox,
on obtient par exemple :
ou
NB : Avec Algobox, pour n ³ 1413, le logiciel est obligé
d'arrondir la valeur de C (car elle dépasse 1012) et par
conséquent il n'affiche plus que la propriété est vraie.
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TS − Récurrence − Corrections
2
2
3°) Considérons, pour n ³ 1, la proposition P(n) : Cn = n (n + 1)
4
Initialisation :
n2(n + 1)2 = 12 x 22 = 4 = 1
Pour n = 1,
C1 = 1
et
4
4
4
La proposition P(1) est donc vraie.
(On pourrait vérifier la proposition P(n) pour n = 1 , 2 , 3 ... cela peut faciliter la compréhension, mais c'est sans utilité
pour le raisonnement)
Hérédité :
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier donné n ³ 1 .
2
2
2
2
On a donc Cn = n (n + 1) c'est-à-dire 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n (n + 1)
4
4
2
2
On veut alors démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que Cn+1 = (n + 1) (n + 2)
4
En rajoutant (n + 1)3 à chacun des deux membres on obtient
2
2
13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = n (n + 1) + (n + 1)3
4
2
n
donc
Cn+1 = (n + 1)2  + (n + 1)
4

2
donc
Cn+1 = (n + 1)2 n + 4n + 4 
4


2
(n
+
2)
2
donc
Cn+1 = (n + 1) x
4
2(n + 2)2
(n
+
1)
donc
Cn+1 =
4
P(n + 1) est alors vraie.
On a donc justifié que P(1) est vraie (initialisation)
et que pour tout entier n ³ 1 P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité)
On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1.
On a donc démontré que pour tout entier n ³ 1 ,
2
2
Cn = n (n + 1)
4
On sait déjà (ou voir exercice 1) que Sn = n(n + 1)
2
On justifie donc le résultat conjecturé à la première question : Cn = (Sn)2
Cn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 peut aussi s'écrire Cn =
k=n
∑
k3
k=1
On peut obtenir une expression de cette somme avec un logiciel de
calcul formel (ou avec une calculatrice pouvant effectuer du calcul
formel).
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TS − Récurrence − Corrections
pour tout entier n ³ 1