Corrections - XMaths

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Corrections
Exercice 04
S
n
est la somme des nombres entiers de 1 à n : S
n
= 1 + 2 + 3 + ... + n
C
n
est la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n : C
n
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
1°) Par définition S
1
= 1
S
2
= 1 + 2 donc S
2
= 3
S
3
= 1 + 2 + 3 donc S
3
= 6
S
4
= 1 + 2 + 3 + 4 donc S
4
= 10
S
5
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 donc S
5
= 15
d'autre part
C
1
= 1
3
donc C
1
= 1
C
2
= 1
3
+ 2
3
= 1 + 8 donc C
2
= 9
C
3
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 1 + 8 + 27 donc C
3
= 36
C
4
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
= 1 + 8 + 27 + 64 donc C
4
= 100
C
5
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ 4
3
+ 5
3
= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 donc C
5
= 225
On peut conjecturer que C
n
= (S
n
)
2
2°) En utilisant l'algorithme ci-contre réalisé avec AlgoBox,
on obtient par exemple :
ou
NB : Avec Algobox, pour n ³ 1413, le logiciel est obligé
d'arrondir la valeur de C (car elle dépasse 10
12
) et par
conséquent il n'affiche plus que la propriété est vraie.

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3°) Considérons, pour n ³ 1, la proposition P(n) : C
n
= n
2
(n + 1)
2
4
Initialisation :
Pour n = 1, C
1
= 1 et n
2
(n + 1)
2
4 = 1
2
x 2
2
4 = 4 4 = 1
La proposition P(1) est donc vraie.
(On pourrait vérifier la proposition P(n) pour n = 1 , 2 , 3 ... cela peut faciliter la compréhension, mais c'est sans utilité
pour le raisonnement)
Hérédité :
Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier donné n ³ 1 .
On a donc C
n
= n
2
(n + 1)
2
4 c'est-à-dire 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
= n
2
(n + 1)
2
4
On veut alors démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que C
n+1
=
(n + 1)
2
(n + 2)
2
4
En rajoutant (n + 1)
3
à chacun des deux membres on obtient
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
+ (n + 1)
3
= n
2
(n + 1)
2
4 + (n + 1)
3
donc C
n+1
= (n + 1)
2
n
2
4 + (n + 1)
donc C
n+1
= (n + 1)
2
n
2
+ 4n + 4
4
donc C
n+1
= (n + 1)
2
x (n + 2)
2
4
donc C
n+1
= (n + 1)
2
(n + 2)
2
4
P(n + 1) est alors vraie.
On a donc justifié que P(1) est vraie (initialisation)
et que pour tout entier n ³ 1 P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité)
On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1.
On a donc démontré que pour tout entier n ³ 1 , C
n
= n
2
(n + 1)
2
4
On sait déjà (ou voir exercice 1) que S
n
= n(n + 1)
2
On justifie donc le résultat conjecturé à la première question : C
n
= (S
n
)
2
pour tout entier n ³ 1
C
n
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ... + n
3
peut aussi s'écrire C
n
=
k = 1
∑
k = n
k
3
On peut obtenir une expression de cette somme avec un logiciel de
calcul formel (ou avec une calculatrice pouvant effectuer du calcul
formel).