DS 1

Devoir surveillé n°1-Correction 23/09/13
Exercice 1 (16 points)
On considère la suite numérique (Vn) définie pour tout entier naturel n par
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n
donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en
justifiant la réponse.
Le premier algorithme n’est pas valable car il affiche uniquement Vn.
Le second n’est pas valable car, dans la boucle, il réinitialise V à la valeur 1.
Seul V0 sera affiché plusieurs fois.
C’est l’algorithme 3 qui convient.
2. Pour n = 9, on obtient l’affichage suivant :
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (Vn) ?
On peut conjecturer que la suite V est croissante et converge vers 3.
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < Vn < 3.
Posons Hn l’hypothèse de récurrence
Initialisation : 
Donc H0 est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire :
Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire :
On sait que : 
Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
La suite (Vn) est-elle monotone ?
D’après ce qui vient d’être fait, on peut dire que pour tout entier naturel n, on
a : Vn+1 > Vn. En effet 6 – Vn est positif d’après la question 3a.
Ainsi la suite V est croissante.

c. Démontrer que la suite (Vn) est convergente.
La suite V est majorée par 3 (question 3a) et croissante (question 3b) donc
elle converge vers un réel inférieur à 3.
Partie B Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (Wn) définie pour tout n entier naturel par
1. Démontrer que (Wn) est une suite arithmétique de raison - 
.
Or 
On a donc bien l’égalité entre ces deux expressions. La suite W est donc
arithmétique de raison - 
.
2. En déduire l’expression de (Wn), puis celle de (Vn) en fonction de n.
D’après la question 1, on a :
De plus, 
On peut donc déduire l’expression de Vn en fonction de n :
3. Déterminer la limite de la suite (Vn).
D’après la question précédente, en divisant numérateur et dénominateur par n
non nul, on obtient :
D’où 
Ce qui confirme la conjecture émise précédemment.
Exercice 2 (3 points)
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par :
Montrer que (Un) est croissante.
Posons Hn l’hypothèse de récurrence
Initialisation : 
Donc H0 est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire :
Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire :
On sait que : 
Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie.
Restitution Organisée de Connaissances (1 point)
Prérequis : On pourra utiliser le résultat suivant :
Pour tout réel x strictement positif et pour tout entier naturel n,
(1+x)n 1 + nx

Démontrer que pour tout réel q strictement supérieur à 1, on a :
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