DS 1

Devoir surveillé n°1-Correction 23/09/13
Exercice 1 (16 points)
On considère la suite numérique (Vn) définie pour tout entier naturel n par
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (Vn) ?
On peut conjecturer que la suite V est croissante et converge vers 3.
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 < Vn < 3.
Posons Hn l’hypothèse de récurrence
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n
donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en
justifiant la réponse.
Initialisation :
Donc H0 est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire :
Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire :
On sait que :
Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
Le premier algorithme n’est pas valable car il affiche uniquement Vn.
Le second n’est pas valable car, dans la boucle, il réinitialise V à la valeur 1.
Seul V0 sera affiché plusieurs fois.
C’est l’algorithme 3 qui convient.
2. Pour n = 9, on obtient l’affichage suivant :
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
La suite (Vn) est-elle monotone ?
D’après ce qui vient d’être fait, on peut dire que pour tout entier naturel n, on
a : Vn+1 > Vn. En effet 6 – Vn est positif d’après la question 3a.
Ainsi la suite V est croissante.
c. Démontrer que la suite (Vn) est convergente.
La suite V est majorée par 3 (question 3a) et croissante (question 3b) donc
elle converge vers un réel inférieur à 3.
Partie B Recherche de la limite de la suite (vn)
On considère la suite (Wn) définie pour tout n entier naturel par
D’où
Ce qui confirme la conjecture émise précédemment.
1. Démontrer que (Wn) est une suite arithmétique de raison - .
Exercice 2 (3 points)
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par :
Or
Montrer que (Un) est croissante.
Posons Hn l’hypothèse de récurrence
On a donc bien l’égalité entre ces deux expressions. La suite W est donc
arithmétique de raison - .
2. En déduire l’expression de (Wn), puis celle de (Vn) en fonction de n.
D’après la question 1, on a :
Initialisation :
Donc H0 est vraie.
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire :
De plus,
On peut donc déduire l’expression de Vn en fonction de n :
3. Déterminer la limite de la suite (Vn).
D’après la question précédente, en divisant numérateur et dénominateur par n
non nul, on obtient :
Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire :
On sait que :
Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie.
Restitution Organisée de Connaissances (1 point)
Prérequis : On pourra utiliser le résultat suivant :
Pour tout réel x strictement positif et pour tout entier naturel n,
(1+x)n ≥ 1 + nx
Démontrer que pour tout réel q strictement supérieur à 1, on a :
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