[ C ORRECTION DS5 TS1 \ Partie A 1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v 0 à v n mais n’affiche que le dernier v n . L’algorithme no 2 calcule n fois de suite v 1 à partir de v 0 : il ne calcule pas les termes de v 0 à v n . Il affiche n fois de suite la valeur 1. L’algorithme no 3 calcule tous les termes de v 0 à v n et les affiche tous. 2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9), il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3. a. Montrons par récurrence la propriété P n : 0 < v n < 3 pour tout entier naturel n. Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie. 3. Hérédité : Supposons P n vraie pour un entier naturel n,et montrons alors que P n+1 est vraie. On suppose donc que 0 < v n < 3. Donc 6 = 6 − 0 > 6 − v n > 6 − 3 = 3, puis 1 1 1 < , car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. < 6 6 − vn 3 D’où : 3 9 9 9 < = 3. = < 2 6 6 − vn 3 3 Et par conséquent 0 < < v n+1 < 3. L’hérédité est ainsi établie puisque P n+1 est vraie. 2 Conclusion : Par le principe de récurrence, P n : 0 < v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n. b. Soit n un entier naturel quelconque, on a : 9 − v n (6 − v n ) (v n − 3)2 9 − vn = = . v n+1 − v n = 6 − vn 6 − vn 6 − vn Or, d’après la question précédente, 0 < v n < 3, ainsi 6 − v n et (v n − 3)2 sont strictement positifs, donc v n+1 − v n = (v n − 3)2 > 0, par conséquent la suite (v n ) est croissante. 6 − vn c. Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. Partie B 1. Pour tout entier naturel n : 1 1 w n+1 − w n = − = v n+1 − 3 v n − 3 1 9 6−v n − −3 1 6 − vn 1 6 − v n − 3 −v n + 3 vn − 3 1 =− . = − = = =− v n − 3 3v n − 9 v n − 3 3v n − 9 3v n − 9 3(v n − 3) 3 1 Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − . 3 1 1 1 1 2. Pour tout entier naturel n : w n = w 0 + nr = − n = − − n. 1−3 3 2 3 1 1 6 1 +3 = 1 1 +3 = , on obtient v n = + 3. Comme w n = vn − 3 wn −3 − 2n −2 − 3n 6 On a : lim −3 − 2n = −∞, donc par quotient : lim = 0, d’où par somme : lim v n = 3. n→+∞ n→+∞ −3 − 2n n→+∞ 1