CORRECTION DS5 TS1

[ C ORRECTION DS5 TS1 \
Partie A
1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v 0 à v n mais n’affiche que le dernier v n .
L’algorithme no 2 calcule n fois de suite v 1 à partir de v 0 : il ne calcule pas les termes de v 0 à v n . Il affiche n fois de suite
la valeur 1.
L’algorithme no 3 calcule tous les termes de v 0 à v n et les affiche tous.
2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9), il semblerait que la suite soit croissante et
converge vers un nombre proche de 3.
a. Montrons par récurrence la propriété P n : 0 < v n < 3 pour tout entier naturel n.
Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie.
3.
Hérédité : Supposons P n vraie pour un entier naturel n,et montrons alors que P n+1 est vraie.
On suppose donc que 0 < v n < 3.
Donc 6 = 6 − 0 > 6 − v n > 6 − 3 = 3, puis
1
1
1
< , car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
<
6 6 − vn 3
D’où :
3 9
9
9
< = 3.
= <
2 6 6 − vn 3
3
Et par conséquent 0 < < v n+1 < 3. L’hérédité est ainsi établie puisque P n+1 est vraie.
2
Conclusion :
Par le principe de récurrence, P n : 0 < v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n.
b. Soit n un entier naturel quelconque, on a :
9 − v n (6 − v n ) (v n − 3)2
9
− vn =
=
.
v n+1 − v n =
6 − vn
6 − vn
6 − vn
Or, d’après la question précédente, 0 < v n < 3, ainsi 6 − v n et (v n − 3)2 sont strictement positifs, donc v n+1 − v n =
(v n − 3)2
> 0, par conséquent la suite (v n ) est croissante.
6 − vn
c. Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.
Partie B
1. Pour tout entier naturel n :
1
1
w n+1 − w n =
−
=
v n+1 − 3 v n − 3
1
9
6−v n
−
−3
1
6 − vn
1
6 − v n − 3 −v n + 3
vn − 3
1
=− .
=
−
=
=
=−
v n − 3 3v n − 9 v n − 3
3v n − 9
3v n − 9
3(v n − 3)
3
1
Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − .
3
1
1
1 1
2. Pour tout entier naturel n : w n = w 0 + nr =
− n = − − n.
1−3 3
2 3
1
1
6
1
+3 = 1 1 +3 =
, on obtient v n =
+ 3.
Comme w n =
vn − 3
wn
−3
−
2n
−2 − 3n
6
On a : lim −3 − 2n = −∞, donc par quotient : lim
= 0, d’où par somme : lim v n = 3.
n→+∞
n→+∞ −3 − 2n
n→+∞
1