Exercice On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier

Exercice
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points
(An)par leurs coordonnées ¡xn;yn¢de la façon suivante :
½x0= −3
y0=4et pour tout entier naturel n:½xn+1=0,8xn−0,6yn
yn+1=0,6xn+0,8yn
1. a. Déterminer les coordonnées des points A0,A1et A2.
b. Pour construire les points Anainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :
Variables :
i,x,y,t: nombres réels
Initialisation :
xprend la valeur −3
yprend la valeur 4
Traitement :
Pour iallant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x;y)
tprend la valeur x
xprend la valeur ....
yprend la valeur ... .
Fin Pour
Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0àA20.
c. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1234567−1−2−3−4−5−6−7
Identifier les points A0,A1et A2.
Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points Anpour tout nentier
naturel ?
d. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n,zn=xn+iynl’affixe du
point An.
Soit un=|zn|. Montrer que, pour tout entier naturel n,un=5. Quelle interprétation
géométrique peut-on faire de ce résultat ?
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1. a. On applique les formules de récurrence proposées.
On obtient : A0(−3;4)
x1=0.8x0−0.6y0=0.8×(−3)−0.6×4= −4,8
y1=0.6x0+0.8y0=0.6×(−3)+0.8×4=1,4
A1(−4,8;−1,4)
x2=0.8x1−0.6y1=0.8×(−4,8)−0.6×1,4 = −4,68
y1=0.6x1+0.8y1=0.6×(−4,8)+0.8×1,4 = −1,76
A2(−4,68;−1,76)
b. Voir plus bas :
Variables :
i,x,y,t: nombres réels
Initialisation :
xprend la valeur −3
yprend la valeur 4
Traitement :
Pour iallant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x;y)
tprend la valeur x
xprend la valeur 0,8×x−0,6 ×y.
yprend la valeur 0,6 ×t+0,8 ×y.
Fin Pour
L’erreur à ne pas commettre ici était d’utiliser xdans le calcul de y. En effet, à ce stade,
xa déjà été modifié. C’est d’ailleurs pour cela que l’algorithme propose de stocker
temporairement l’ancienne valeur de xdans la variable t.
c. On a identifié les points sur l’annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent
appartenir à un cercle de centre Oet de rayon 5.
d. Faisons une démonstration par récurrence puisque la suite zest définie par récur-
rence.
Au rang 0, |z0| = p(−3)2+42=5. La propriété est vérifiée.
Fixons un entier pet supposons que |zp| = qx2
p+y2 p=5.
Au rang p+1 :
|zp+1| = qx2
p+1+y2 p+1
=q¡0,8xp−0,6yp¢2+¡0,6xp+0,8yp¢2
=q(0,82+0,62)x2
p+(0,62+0,82)y2 p+(0,8×0,6 −0,6 ×0,8)xpyp
=qx2
p+y2 p. Or, par hypothèse, qx2 p+y2 p=5. Donc :
|zp+1| = 5
La propriété est donc héréditaire et initialisée.
Ainsi, pour tout n, on a bien un= |zn| = 5, ce qui prouve notre conjecture concernant
le lieu des points.
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