Preuve de la formule explicite - Blogdemaths

Nombres de Stirling de seconde espèce
Rappelons la relation de récurrence vérifiée par les nombres de Stirling de seconde espèce
S(n,k) :
S(n,k)=S(n−1,k−1) +k.S(n−1,k)
Formule explicite. Pour tout entier naturel non nul n, pour tout entier naturel k ≤n,
S(n,k)=1
k!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk
j!jn
Nous démontrons ce théorème par récurrence sur n.
a) C’est évident si n=1 et k=0
Si n=1 et k=1 alors la formule est évidemment vérifiée car on sait que S(1,1) =1 et
car 1
1!
1
X
j=0
(−1)1−jÃ1
j!j1= −0+1=1.
b) On suppose que la formule est vraie au rang n−1 et nous allons la prouver au rang n.
Soit k≤n. On commence par calculer S(n−1,k−1) et k.S(n−1, k) à l’aide de l’hypothèse
de récurrence :
S(n−1,k−1) =1
(k−1)!
k−1
X
j=0
(−1)(k−1)−jÃk−1
j!jn−1(1)
=
−1
(k−1)!
k−1
X
j=0
(−1)k−jÃk−1
j!jn−1(2)
=
−1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk−1
j!jn−1(3)
L’étape (3) dit que, puisque ¡k−1
k¢=0, on peut faire aller la somme jusqu’à j=k(ce qui
sera pratique dans la suite).
D’autre part,
k.S(n−1,k)=k.1
k!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk
j!jn−1(4)
=1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk
j!jn−1(5)
A présent, utilisons la relation de récurrence :
S(n,k)=S(n−1,k−1) +k.S(n−1,k) (6)
=1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−j"−Ãk−1
j!+Ãk j!#jn−1(7)
1

Mais on sait d’après la formule de Pascal que −Ãk−1
j!+Ãk j!=Ãk−1 j−1!. D’où
S(n,k)=1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk−1
j−1!jn−1(8)
=1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−j(k−1)!
(j−1)!((k−1) −(j−1))! jn−1(9)
=1
(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−j(k−1)!
(j−1)!(k−j)! jn−1(10)
(11)
En multipliant le numérateur et le dénominateur par ket j, on obtient
S(n,k)=1
k(k−1)!
k
X
j=0
(−1)k−jk(k−1)!
j(j−1)!(k−j)! jn−1.j(12)
=1
k!
k
X
j=0
(−1)k−jk!
j!(k−j)! jn(13)
=1
k!
k
X
j=0
(−1)k−jÃk
j!jn(14)
CQFD.
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