Preuve de la formule explicite - Blogdemaths

Nombres de Stirling de seconde espèce
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Rappelons la relation de récurrence vérifiée par les nombres de Stirling de seconde espèce
S(n, k) :
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k.S(n − 1, k)
Formule explicite. Pour tout entier naturel non nul n, pour tout entier naturel k ≤ n,
à !
k
1 X
k− j k n
(−1)
j
S(n, k) =
j
k! j =0
Nous démontrons ce théorème par récurrence sur n.
a) C’est évident si n = 1 et k = 0
Si n = 1 et k = 1 Ãalors
! la formule est évidemment vérifiée car on sait que S(1, 1) = 1 et
1
X
1 1
1
(−1)1− j
j = −0 + 1 = 1.
car
j
1! j =0
b) On suppose que la formule est vraie au rang n − 1 et nous allons la prouver au rang n.
Soit k ≤ n. On commence par calculer S(n−1, k−1) et k.S(n−1, k) à l’aide de l’hypothèse
de récurrence :
Ã
!
k−1
X
1
(k−1)− j k − 1 n−1
S(n − 1, k − 1) =
(−1)
j
(1)
(k − 1)! j =0
j
Ã
!
X
−1 k−1
k− j k − 1 n−1
=
(−1)
j
(2)
(k − 1)! j =0
j
Ã
!
k
−1 X
k− j k − 1 n−1
=
(−1)
j
(3)
(k − 1)! j =0
j
L’étape (3) dit que, puisque
sera pratique dans la suite).
D’autre part,
¡k−1¢
k
= 0, on peut faire aller la somme jusqu’à j = k (ce qui
à !
k
1 X
k− j k n−1
k.S(n − 1, k) = k.
(−1)
j
k! j =0
j
à !
k
X
1
k− j k n−1
=
(−1)
j
(k − 1)! j =0
j
(4)
(5)
A présent, utilisons la relation de récurrence :
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k.S(n − 1, k)
" Ã
! Ã !#
k
X
k −1
k
1
k− j
=
(−1)
−
+
j n−1
(k − 1)! j =0
j
j
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1
(6)
(7)
!
! Ã ! Ã
Ã
k −1
k
k −1
. D’où
=
+
Mais on sait d’après la formule de Pascal que −
j −1
j
j
!
Ã
k
X
1
k− j k − 1 n−1
S(n, k) =
j
(−1)
j −1
(k − 1)! j =0
=
k
X
1
(k − 1)!
(−1)k− j
j n−1
(k − 1)! j =0
( j − 1)!((k − 1) − ( j − 1))!
=
k
X
(k − 1)!
1
(−1)k− j
j n−1
(k − 1)! j =0
( j − 1)!(k − j )!
(8)
(9)
(10)
(11)
En multipliant le numérateur et le dénominateur par k et j , on obtient
S(n, k) =
k
X
k(k − 1)!
1
(−1)k− j
j n−1 . j
k(k − 1)! j =0
j ( j − 1)!(k − j )!
k
1 X
k!
(−1)k− j
jn
k! j =0
j !(k − j )!
à !
k
1 X
k− j k n
j
(−1)
=
j
k! j =0
=
CQFD.
2
(12)
(13)
(14)