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PCSI
Feuille d'exercices 18
2011 - 2012
Exercice 1 : Donner une base du sous-espace vectoriel F de R4 déni par de dimension nie tels que g ◦ f = IdE .
F = {(x; y; z; t) ∈ R4 = x + y = z + t = 0} Quelles sont les composantes
1) Montrer que f et g sont des isomorphismes de E .
du vecteur a = (2; −2; −1; 1) dans cette base ?
2) Montrer que le résultat peut-être faux si on ne suppose plus E de
dimension nie.
Exercice 2 : Soient a, b, c ∈ R. Montrer que x 7→ sin(x + a),
x 7→ sin(x + b), et x 7→ sin(x + c) forment une famille liée dans RR .
Exercice 3 : Dans R , déterminer une base du sev engendré par :
4
1) a = (1; 2; 2; 1), b = (5; 6; 6; 5), c = (−1; −3; 4; 0), d = (0; 4; −3; −1)
2) a = (2; −5; 3; 10), b = (1; −1; 1; 3), c = (3; 3; 1; 1)
3) a = (1; 2; 5; −1), b = (3; 6; 5; −6), c = (2; 4; 0; −2)
Exercice 8 : Soit E un espace vectoriel non réduit à {0}. Montrer que
dim(E) = 1 si et seulement si les seuls sevs de E sont E et {0}.
Exercice 9 : Soit E, F et G trois ev de dimension nie. On donne f et g
deux applications linéaires respectivement de E dans F et de F dans G.
Montrer que dim(Ker(g ◦ f )) ≤ dim(Ker(f )) + dim(Ker(g)). On pourra
considérer la restriction de f à Ker(g ◦ f )
Exercice 4 : Soient dans R4 , F = V ect(u; v; w) et G = V ect(a; b) avec
u = (1; −1; 2; 3) ; v = (1; 1; 2; 0) ; w = (3; −1; 6; −6) a = (0; 2; 0; ..3) ;
Exercice 10 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie et u un
b = (1; 0; 1; 0) Déterminer la dimension de F , de G, de F ∩ G, de F + G.
endomorphisme de E . Montrer que 
:
Exercice 5 : Dans R4 , on considère le sev F engendré par a = (1, 2, 3, 4),
b = (2, 2, 2, −2), c = (0, 2, 4, 4) et G le sev engendré par d = (1, 0, −1, 2)
et e = (2, 3, 0, 1).
Déterminer les dimensions de F, G, F + G et F ∩ G.
Exercice 6 : Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E). Montrer que u est
une homothétie vectorielle si et seulement si :
2

 u =0
∃p ∈ N, dim(E) = 2p
Im(u) = Ker(u) si et seulement si


rang(u) = p
Exercice 11 : Soit f un endomorphisme d'un R ev de dimension nie.
Montrer que E = Im(f ) + Ker(f ) ⇔ Im(f ) = Im(f 2 )
∀x ∈ E, ∃λx ∈ K, u(x) = λx .x
Exercice 12 : Soit E un K ev de dimension n et u, v ∈ L(E). Montrer
que si v ◦ u = 0 et que u + v est surjective alors rang(u) + rang(v) = n.
Exercice 7 : Soient f et g deux endomorphisme d'un espace vectoriel E
Exercice 13 : Montrer qu'une forme linéaire est soit nulle soit surjective.
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis