Khôlles MPSI. Algèbre linéaire Ê3 Ê3

Khôlles MPSI. Algèbre linéaire
mpsi
Sujet A
1
L’application suivante est-elle linéaire ?
f:
R3
R
R2
2
R
R2
R
K
4
Soient E un -espace vectoriel et p,q ∈ L(E) deux projecteurs de même
image. Montrer que pour tout λ ∈ , λp + (1 − λ)q est un projecteur de même
image que p et q.
K
5
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de E
tel que rg(u) = Tr(u) = 1. Montrer que u est un projecteur.
R3
−→
(x,y,z) 7−→
x + 2 y , x2 − z 2 , x + y + 2
R2
R
2
−→
(x,y) 7−→ (−3x + 2y, − 4x + 3y)
Montrer que s est une symétrie de
R2 et donner ses caractéristiques.
3
Déterminer ker(f ) et Im(f ), où f est l’application linéaire définie de la
manière suivante :
2
−→
(x,y) 7−→ (4x − 2y,6x − 3y)
Montrer que p est un projecteur et donner ses caractéristiques.
R3
On considère s l’application linéaire définie de la manière suivante :
s:
4
−→
(x,y) 7−→ (y,0,x − 7y,x + y)
On considère p l’application linéaire définie de la manière suivante :
p:
L’application suivante est-elle linéaire ?
f:
En déduire si f est injective, surjective, bijective ?
3
1
2
−→
(x,y,z) 7−→ (x2 − y,z)
2
Déterminer ker(f ) et Im(f ), où f est l’application linéaire définie de la
manière suivante :
f:
Sujet B
f:
R2
R
2
−→
(x,y) 7−→ (2x + y,x − y)
En déduire si f est injective, surjective, bijective ?
4
Donner une famille génératrice de chacun des sous-espaces suivants de
R3 | x + y + 2z = 0} ;
2. A2 = {(a + b,a − b,a + b) | a,b ∈ R} ;
3. A3 = {(x,2x,x) | x ∈ R}.
R3 :
1. A1 = {(x,y,z) ∈
5
Soient E un espace vectoriel et f ∈ L(E) un endomorphisme tel que
2
f − 3f + 2Id = 0. Montrer que f est inversible, puis que ker(f − 2Id) et ker(f − Id)
sont supplémentaires dans E.
ISEN ✉ [email protected]
Khôlles MPSI. Algèbre linéaire
mpsi
Bonus
Sujet C
L’application suivante est-elle linéaire ?
1
u:
R
C 0 ( ) −→
f
R
7−→ f (0) +
Z
1
f (t) dt
⋆ On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu
1
dans ]0 ; +∞[ l’équation différentielle :
(E)
y ′ (x) −
y(x)
− y(x)2 = −9x2
x
0
1. Déterminer a ∈]0 ; +∞[ tel que y(x) = ax soit une solution particulière y0
de (E).
2
Déterminer ker(f ) et Im(f ), où f est l’application linéaire définie de la
manière suivante :
f:
R3
R
3
−→
(x,y,z) 7−→ (2x + y + z,y − z,x + y)
En déduire si f est injective, surjective, bijective ?
On considère p l’application linéaire définie de la manière suivante :
3
p:
R2
2. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x) = y0 (x) −
forme l’équation (E) en l’équation différentielle
(E1)
z ′ (x) + (6x +
1
z(x)
trans-
1
)z(x) = 1
x
3. Intégrer (E1) sur ]0 ; +∞[.
4. Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0 ; +∞[.
R
2
−→
(x,y) 7−→ (−2x + 2y, − 3x + 3y)
Montrer que p est un projecteur et donner ses caractéristiques.
4
de
R
2
Donner une famille génératrice de chacun des sous-espaces vectoriels suivants
:
R2 | x + 2y = 0} ;
2. A2 = {(a + b,a − b) | a,b ∈ R}.
1. A1 = {(x,y) ∈
5
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) telle que
rg(f ) = rg(f 2 ). Montrer que Im(f 2 ) = Im(f ) et ker(f 2 ) = ker(f ).
ISEN ✉ [email protected]