Khôlles MPSI. Algèbre linéaire Ê3 Ê3

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Khôlles MPSI. Algèbre linéaire
Sujet A
1L’application suivante est-elle linéaire ?
f:3−→ 2
(x,y,z)7−→ (x2−y,z)
2Déterminer ker(f) et Im(f), où fest l’application linéaire définie de la
manière suivante :
f:2−→ 4
(x,y)7−→ (y,0,x −7y,x +y)
En déduire si fest injective, surjective, bijective ?
3On considère pl’application linéaire définie de la manière suivante :
p:2−→ 2
(x,y)7−→ (4x−2y,6x−3y)
Montrer que pest un projecteur et donner ses caractéristiques.
4Soient Eun -espace vectoriel et p,q ∈ L(E) deux projecteurs de même
image. Montrer que pour tout λ∈,λp + (1 −λ)qest un projecteur de même
image que pet q.
5Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, et uun endomorphisme de E
tel que rg(u) = Tr(u) = 1. Montrer que uest un projecteur.
Sujet B
1L’application suivante est-elle linéaire ?
f:3−→ 3
(x,y,z)7−→ x+ 2 y , x2−z2, x +y+ 2
2On considère sl’application linéaire définie de la manière suivante :
s:2−→ 2
(x,y)7−→ (−3x+ 2y, −4x+ 3y)
Montrer que sest une symétrie de 2et donner ses caractéristiques.
3Déterminer ker(f) et Im(f), où fest l’application linéaire définie de la
manière suivante :
f:2−→ 2
(x,y)7−→ (2x+y,x −y)
En déduire si fest injective, surjective, bijective ?
4Donner une famille génératrice de chacun des sous-espaces suivants de 3:
1. A1={(x,y,z)∈3|x+y+ 2z= 0};
2. A2={(a+b,a −b,a +b)|a,b ∈};
3. A3={(x,2x,x)|x∈}.
5Soient Eun espace vectoriel et f∈ L(E) un endomorphisme tel que
f2−3f+2Id = 0. Montrer que fest inversible, puis que ker(f−2Id) et ker(f−Id)
sont supplémentaires dans E.
ISEN ✉franck.lagrav[email protected]

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Khôlles MPSI. Algèbre linéaire
Sujet C
1L’application suivante est-elle linéaire ?
u:C0()−→
f7−→ f(0) + Z1
0
f(t) dt
2Déterminer ker(f) et Im(f), où fest l’application linéaire définie de la
manière suivante :
f:3−→ 3
(x,y,z)7−→ (2x+y+z,y −z,x +y)
En déduire si fest injective, surjective, bijective ?
3On considère pl’application linéaire définie de la manière suivante :
p:2−→ 2
(x,y)7−→ (−2x+ 2y, −3x+ 3y)
Montrer que pest un projecteur et donner ses caractéristiques.
4Donner une famille génératrice de chacun des sous-espaces vectoriels suivants
de 2:
1. A1={(x,y)∈2|x+ 2y= 0};
2. A2={(a+b,a −b)|a,b ∈}.
5Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E) telle que
rg(f) = rg(f2). Montrer que Im(f2) = Im(f) et ker(f2) = ker(f).
Bonus
1⋆On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu
dans ]0 ; +∞[ l’équation différentielle :
(E)y′(x)−y(x)
x−y(x)2=−9x2
1. Déterminer a∈]0 ; +∞[ tel que y(x) = ax soit une solution particulière y0
de (E).
2. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x) = y0(x)−1
z(x)trans-
forme l’équation (E) en l’équation différentielle
(E1) z′(x) + (6x+1
x)z(x) = 1
3. Intégrer (E1) sur ]0 ; +∞[.
4. Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0 ; +∞[.
ISEN ✉franck.lagrav[email protected]