PCSI Devoir maison n°9 A remettre le jeudi 21 février 2013 Exercice 1 : méthode de Héron d'Alexandrie. Soit α un réel strictement supérieur à 1 et p un entier naturel tel que : ( p 1)2≤α≤ p 2 . On considère la suite (u n ) définie par u 0= p et pour tout n∈ℕ par : u n+1= 1 u +α 2 n un ( ) 1- Démontrer que : ∀n∈ℕ on a : u n>0 2- Démontrer que : ∀ n∈ℕ on a : u n≥ √ α 3- Déterminer le sens de variation de la suite (u n ) puis justifier que le suite (u n ) est convergente. 4- Montrer que : ∀ n∈ℕ∗ , on a : u n √α≤ 1 ( 2 √ α) 2 n 1 . En déduire la limite de la suite (u n ) Exercice 2 : étude de continuité. Étudier en tout point de ℝ la continuité des applications définies par : f (x)=x+√ x E (x) et g (x )=E (x)+√ x E(x ) Exercice 3 : noyau de Dirichlet Pour n∈ℕ∗ fixé, on considère l'application suivante appelée noyau de Dirichlet. x sin (2n + 1) 2 K ( x) = si x ∈ R \ 2π Z x 2sin K : x∈ R a 2 1 K ( x) = (2n + 1) si x ∈ 2π Z 2 Avec 2 π ℤ={2k π , k ∈ℤ} 1- Montrer que K est une application périodique. 2- Montrer que K est continue sur ℝ . n 3- Montrer que : ∀ x∈ℝ , on a : ∑ cos(kx )=K ( x) k =1 1/4 1 2 PCSI Devoir maison n°9 A remettre le jeudi 21 février 2013 Exercice 4 a- Montrer qu'une application linéaire transforme une famille liée en une famille liée. b- Montrer qu'une application linéaire injective transforme une famille libre en une famille libre. c- Montrer qu'une application linéaire surjective transforme une famille génératrice en une famille génératrice. d- Montrer qu'un isomorphisme transforme une base en un base. Exercice 5 Soit E un K espace vectoriel de dimension 1. Montrer que tout vecteur non nul de E, forme une base de E . Exercice 6 : familles libres de polynômes. 1- Soit ℝn [ X ] avec n∈ℕ . Soit ( P k )0≤k ≤n une famille de polynômes de ℝn [ X ] , telles que : ∀ k , 0≤k ≤n , deg (P k )=k . 1-a- Démontrer que la famille ( P k )0≤k ≤n est libre. 1-b- En déduire que c'est une base de ℝn [ X ] 2-a- Dans ℝ2 [ X] , montrer que la famille (1,( X 1),( X 1)2 ) forme une base. 2-b- Déterminer l'écriture des polynômes 1, X , et X 2 dans cette base, puis l'écriture d'un polynôme quelconque a+bX+cX2 . Exercice 7 On pose E=ℝ [ X ] , le ℝ espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout P ∈E , f (P)=P XP ' . 1-a- Résoudre l’équation différentielle y xy '=1 . 1-b- Possède-t-elle des solutions sur ℝ ? 2- Prouver que f est un endomorphisme de E. 3- Déterminer son noyau : 4- f est-elle injective ? f est-elle surjective ? 5- f 2 est-elle injective ? Surjective ? Déterminer 2/4 Ker ( f 2 ) . PCSI Devoir maison n°9 A remettre le jeudi 21 février 2013 Exercice 8 On considère ici ℂ comme ℝ -espace vectoriel, et l’application f définie sur ℂ par : f ( z )=z +a ̄z , où a ∈ℂ∗ est fixé. 1- Montrer que f est un endomorphisme de ℂ . 2- En déterminer le noyau et l’image. Exercice 9 Soit le ℝ espace vectoriel E=ℝ 2 . On définit u 1=(1 ;1) et u 2=(2 ; 3) . F =vect (u1 ) et G=vect (u 2 ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires 1- Vérifier que dans E . 2- Calculer l’expression du projecteur p sur F parallèlement à G . Comment peut-on vérifier la cohérence du résultat ? 3- Calculer l’expression de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G . Et de la symétrie t par rapport à G , parallèlement à F ? Exercice 10 (*) Soit f , un endomorphisme d’un espace vectoriel Montrer que : E = Im( f ) ⊕ Ker ( f ) E vérifiant f 3= f . Exercice 11 (*) Soit E , un ℝ espace vectoriel et f ∈ L( E ; R) , une forme linéaire non-nulle sur f une application surjective. 1- Prouver que 2- Montrer qu’il existe a ∈ E tel que : E = Ker ( f ) ⊕ Vect ( a) Exercice 12 (*) Soit E un espace vectoriel et Montrer que f ∈ L( E ) , un endomorphisme de f ( Ker ( f ∘ f ))=Im ( f )∩Ker ( f ) . 3/4 E . E . PCSI Devoir maison n°9 A remettre le jeudi 21 février 2013 Exercice 13 (*) Soient E et F , deux espaces vectoriels, et des applications u ∈L(E ; F ) et v ∈ L( F ; E ) telles que : v ∘u=Id E u ∘ v calculer ( (u ∘ v)∘(u ∘ v) ) ? 1- Que peut-on dire de 2- Montrer que : F = Im(u ) ⊕ Ker (v) Exercice 14 (*) Soit f , un endomorphisme d’un K espace vectoriel E , la famille ( x , f ( x)) est liée. E tel que, pour tout vecteur x de a- Vérifier que cela signifie : ∀ x∈E ,∃λ x ∈K , f ( x)=λ x x . b- Montrer que f est une homothétie, autrement dit que : f vérifie : ∃λ∈K , ∀ x ∈ E , f ( x)=λ x Indication : pour a ∈ E fixé et (a ; x ) libre ou liée. x ∈ E , considérer λ a , λ x et λ a+ x et séparer les cas Exercice 15 (*) Soit p , un projecteur d’un K -espace vectoriel 1- Montrer que q est un projecteur et E . On pose q=Id E p et s= p q . s une symétrie. 2- On pose : L={u∈L( E )∣∃ f ∈ L( E ) , u= f ∘ p} ; M ={u ∈L( E )∣∃ f ∈L ( E) , u= f ∘ q} . Montrer que L et M sont des sous-espaces supplémentaires dans *** Fin du sujet *** 4/4 L( E) .