Exercice 1 : méthode de Héron d`Alexandrie. Exercice 2 : étude de

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Exercice 1 : méthode de Héron d'Alexandrie.
Soit
α
un réel strictement supérieur à 1 et
p
un entier naturel tel que :
( p 1 )
2
≤α≤ p
2
.
On considère la suite (
u
n
) définie par
u
0
=
p
et pour tout
n
∈ℕ
par :
u
n+1
=
1
2 (
u
n
+α
u
n
)
1- Démontrer que :
∀
n
∈ℕ
on a :
u
n
>
0
2- Démontrer que : ∀
n
∈ℕ on a : u
n
≥
√
α
3- Déterminer le sens de variation de la suite (
u
n
) puis justifier que le suite (
u
n
) est
convergente.
4- Montrer que : ∀n∈ℕ
∗
, on a : u
n
√
α≤
1
(2
√
α)
2
n
1
. En déduire la limite de la suite (
u
n
)
Exercice 2 : étude de continuité.
Étudier en tout point de
ℝ
la continuité des applications définies par :
f ( x )= x +
√
x E ( x )
et
g ( x )= E ( x )+
√
x E ( x )
Exercice 3 : noyau de Dirichlet
Pour n∈ℕ
∗
fixé, on considère l'application suivante appelée noyau de Dirichlet.
Avec
2
π ℤ={
2k
π
,
k
∈ℤ}
1- Montrer que
K
est une application périodique.
2- Montrer que
K
est continue sur ℝ.
3- Montrer que : ∀
x
∈ℝ , on a : ∑
k=1
n
cos(kx)=K(x) 1
2
1/4
sin (2 1) 2
( ) \ 2
2sin
:2
1
( ) (2 1) 2
2
x
n
K x si x R Z
x
K x R
K x n si x Z
π
π
+
= ∈
∈ 
= + ∈
a

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Exercice 4
a- Montrer qu'une application linéaire transforme une famille liée en une famille liée.
b- Montrer qu'une application linéaire injective transforme une famille libre en une famille libre.
c- Montrer qu'une application linéaire surjective transforme une famille génératrice en une famille
génératrice.
d- Montrer qu'un isomorphisme transforme une base en un base.
Exercice 5
Soit
E
un
K
espace vectoriel de dimension 1.
Montrer que tout vecteur non nul de E, forme une base de
E
.
Exercice 6 : familles libres de polynômes.
1- Soit ℝ
n
[
X
] avec
n
∈ℕ
. Soit (
P
k
)
0≤k≤n
une famille de polynômes de ℝ
n
[
X
], telles
que : ∀
k
,
0
≤
k
≤
n
,
deg
(
P
k
)=
k
.
1-a- Démontrer que la famille (
P
k
)
0≤k≤n
est libre.
1-b- En déduire que c'est une base de ℝ
n
[
X
]
2-a- Dans
ℝ
2
[
X
]
, montrer que la famille (
1,
(
X
1
)
,
(
X
1
)
2
) forme une base.
2-b- Déterminer l'écriture des polynômes
1,
X
,
et
X
2
dans cette base, puis l'écriture d'un polynôme
quelconque
a
+
bX
+
cX
2
.
Exercice 7
On pose
E
=ℝ [
X
], le ℝ espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout
P
∈
E
,
f
(
P
)=
P
XP
'
.
1-a- Résoudre l’équation différentielle
y
xy
'
=
1
.
1-b- Possède-t-elle des solutions sur
ℝ
?
2- Prouver que
f
est un endomorphisme de E.
3- Déterminer son noyau :
f
est-elle injective ?
4-
f
est-elle surjective ?
5- f
2
est-elle injective ? Surjective ? Déterminer Ker(f
2
).
2/4

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Exercice 8
On considère ici
ℂ
comme
ℝ
-espace vectoriel, et l’application
f
définie sur
ℂ
par :
f
(
z
)=
z
+
a
̄
z
, où
a
∈
ℂ
∗
est fixé.
1- Montrer que
f
est un endomorphisme de ℂ.
2- En déterminer le noyau et l’image.
Exercice 9
Soit le
ℝ
espace vectoriel E=ℝ
2
. On définit
u
1
=(
1
;
1
) et
u
2
=(
2
;
3
).
1- Vérifier que
F
=
vect
(
u
1
) et
G
=
vect
(
u
2
) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans
E
.
2- Calculer l’expression du projecteur
p
sur
F
parallèlement à
G
.
Comment peut-on vérifier la cohérence du résultat ?
3- Calculer l’expression de la symétrie
s
par rapport à
F
parallèlement à
G
.
Et de la symétrie
t
par rapport à
G
, parallèlement à
F
?
Exercice 10 (*)
Soit
f
, un endomorphisme d’un espace vectoriel
E
vérifiant f
3
= f.
Montrer que :
Exercice 11 (*)
Soit
E
, un
ℝ
espace vectoriel et
f
∈
L
(
E
;
R
)
, une forme linéaire non-nulle sur
E
.
1- Prouver que
f
une application surjective.
2- Montrer qu’il existe
a
∈
E
tel que :
Exercice 12 (*)
Soit
E
un espace vectoriel et
f
∈
L
(
E
), un endomorphisme de
E
.
Montrer que
f
(
Ker
(
f
∘
f
))=
Im
(
f
)∩
Ker
(
f
).
3/4
Im( ) ( )
E f Ker f
= ⊕
( ) ( )
E Ker f Vect a
= ⊕

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Exercice 13 (*)
Soient
E
et
F
, deux espaces vectoriels, et des applications
u
∈
L
(
E
;
F
) et
v
∈
L
(
F
;
E
)
telles que :
v
∘
u
=
Id
E
1- Que peut-on dire de
u
∘
v
calculer ( (
u
∘
v
)∘(
u
∘
v
)) ?
2- Montrer que :
Exercice 14 (*)
Soit
f
, un endomorphisme d’un
K
espace vectoriel
E
tel que, pour tout vecteur
x
de
E
, la famille (
x
,
f
(
x
)) est liée.
a- Vérifier que cela signifie : ∀
x
∈
E
,
∃λ
x
∈
K
,
f
(
x
)=λ
x
x
.
b- Montrer que
f
est une homothétie, autrement dit que : f vérifie :
∃λ∈
K
,
∀
x
∈
E
,
f
(
x
)=λ
x
Indication : pour
a
∈
E
fixé et
x
∈
E
, considérer
λ
a
, λ
x
et λ
a
+
x
et séparer les cas
(
a
;
x
)libre ou liée.
Exercice 15 (*)
Soit
p
, un projecteur d’un
K
-espace vectoriel
E
. On pose
q
=
Id
E
p
et
s
=
p
q
.
1- Montrer que
q
est un projecteur et
s
une symétrie.
2- On pose :
L
={
u
∈
L
(
E
)∣∃
f
∈
L
(
E
)
,
u
=
f
∘
p
};
M
={
u
∈
L
(
E
)∣∃
f
∈
L
(
E
)
,
u
=
f
∘
q
}.
Montrer que
L
et
M
sont des sous-espaces supplémentaires dans
L
(
E
).
*** Fin du sujet ***
4/4
Im( ) ( )
F u Ker v
= ⊕