Applications linéaires cor

Applications linéaires Révisions algèbre 4
Les définitions
Application linéaire
Une application f d’un IK-ev E vers un IK-ev F est linéaire si et seulement si
 u,v  E,   ,   IK, f( u +  v) =  f(u) +  f(v)
Endomorphisme
Un endomorphisme est une application linéaire d’un IK-ev E dans lui-même
Isomorphisme
Un isomorphisme est une application linéaire bijective
Automorphisme
Un automorphisme est une application linéaire bijective d’un IK-ev E dans lui-même
Forme linéaire
Une forme linéaire est une application linéaire d’un IK-ev E dans IK
Noyau
Le noyau d’une application linéaire f de E dans F est l’ensemble Ker f = { u  E / f(u)=OF }
Image
L’image d’une application linéaire f de E dans F est l’ensemble
Im f = f(E) = { v  F /  u  E , f(u) = v }
Les opérations
Espace vectoriel L(E,F)
Dimension et base
L(E,F) est un sev de FE
Si E et F sont de dimensions finies alors dim L(E,F) = dim(E) . dim (F)
Soit (e1 , ... , en) une base de E et (f1,...,fp) une base de F
Une base de L(E,F) est formée des applications de L(E,F) (i,j / (i,j)  1,n X 1,p ) telles
que :  k  1,n, i,j (ek) = 
Composition
- Cas général : la composée de deux applications linéaires est linéaire
- Cas des isomorphismes : la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme
Isomorphisme
réciproque
La bijection réciproque d’un isomorphisme est linéaire, c’est donc un isomorphisme
Les applications linéaires importantes
Identité
Homothéties
L’identité d’un IK-ev E est l’application : E  E , x  idE(x) = x, idE est un automorphisme de E
On appelle homothétie, toute application f de E dans E telle qu’il existe   IK vérifiant :
f : E  E , x  f(x) =  x f est un endomorphisme de E, bijectif si  0
Projecteurs
Projections
- Définition : un projecteur est un endomorphisme p tel que p o p = p une projection de E est
une application de E dans E telle qu’il existe deux sev F et G supplémentaires de E vérifiant : 
u  E,  ! x  F ,  ! y  G / u=x+y et p(u) = x
p est alors la projection sur F parallèlement à G
- Caractérisation : p est une projection si et seulement p est un projecteur. Dans ce cas, p est
la projection sur Im p parallèlement à Ker p ainsi : Im p  Ker p = E
Il faut savoir aussi que : Im p = { u  E / p(u) = u } = Ker (p – idE )
Symétries
- Définition : une symétrie est une application s de E dans E telle qu’il existe deux sev F et G
supplémentaires de E vérifiant :  u  E ,  ! x  F ,  ! y  G / u = x+y et s(u) = x – y
s est alors la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
- Caractérisation : s est une symétrie si et seulement si s est un endomorphisme de E tel que
s o s = idE.
Dans ce cas, s est la symétrie par rapport à Ker ( s – idE ) = { u  E / s(u) = u } parallèlement à
Ker (s + idE) = { u  E / s(u) = -u }
Le rang d’une application linéaire
Définition
La rang d’une application linéaire f d’un IK-ev E de dimension finie dans un IK-ev F est la
dimension de son image Im f
Formule du rang
si f  L(E,F) où E est de dimension finie alors : dim Ker f + dim Im f = dim E
Forme linéaire et
hyperplan
Soit E un IK-ev de dimension finie n2
On appelle hyperplan de E tout sev de E, de dimension (n-1)
H est un hyperplan de E si et seulement si H est le noyau d’une forme linéaire non nulle de E