Lycée Jean Perrin Classe de TSI2 Exercices série 5 Compléments d'algèbre linéaire Exercice 1 On note E l'espace vectoriel des fonctions dérivables de R dans R, et : F = {f ∈ E, f (0) = f 0 (0) = 0} ; G = {x 7→ ax + b, a, b ∈ R} Montrer que E = F ⊕ G. [al001] Exercice 2 T Montrer que l'ensemble des matrices M ∈ M2 (C), vériant M = M et de trace nulle, est un sous-espace vectoriel de M2 (C). En donner une base. [al002] Exercice 3 Soit E un R-ev et f ∈ L(E) tel que f 2 + 2f − 3Id = 0. Montrer que E = Ker(f − Id) ⊕ Ker(f + 3Id). En déduire qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. [al003] Exercice 4 Soit E un R-ev et λ ∈ R \ {0, 1}. Soit p un projecteur de E . Montrer que p − λIdE est injective. [al004] Exercice 5 Soient f1 , f2 , · · · , fn des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E vériant : f1 + f2 + · · · + fn = I d et ∀i, j ∈ [[1, n]] , i 6= j, on a : fi ◦ fj = 0 On pose, pour tout i ∈ [[1, n]], Fi = Im fi . 1. Montrer que les fi (1 6 i 6 n) sont des projecteurs. 2. Montrer que pour tout i 6= j , on a Fi ⊂ Ker Fj . 3. En déduire que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn . [al005] Exercice 6 Pour A, B dans Mn (R), résoudre dans Mn (R) l'équation : X = Tr(X)A + B [al006] Exercice 7 1. Soit F un C-ev de dimension nie. Soit f ∈ L(E) tel que rg f = 1. Montrer que f est un projecteur si et seulement si Tr f = 1. 2. En déduire l'ensemble des matrices de M2 (C) qui représentent un projecteur. 3. Soit a ∈ C. Montrer qu'il existe deux matrices de projection dont la somme vaut a 0 0 2−a . [al007] 1/2 Exercice 8 Soient p, q deux projecteurs tels que p ◦ q = q ◦ p. 1. Montrer que p ◦ q est un projecteur. 2. Montrer que Ker(p ◦ q) = Ker p + Ker q et Im(p ◦ q) = Im p ∩ Im q . [al008] Exercice 9 Soit E un K-ev de dimension nie n et u, v ∈ L(E) tels que u ◦ v = 0 et u + v est inversible. Montrer que n = rg u + rg v . [al009] Exercice 10 Montrer qu'en dimension nie, il ne peut pas exister deux endomorphismes f et g tels que f ◦ g − g ◦ f = IdE . Que peut-on dire en dimension innie ? Indication : on pourra considérer les deux endomorphismes de C 1 (R, R) dénis par f : h 7→ h0 et g : h 7→ (x 7→ xh(x)). [al010] Exercice 11 Dans un K-espace vectoriel E de dimension nie non nulle, on considère un endomorphisme f qui vérie f 2 = −IdE . 1. Soit ~a 6= ~0E un élément de E . On note F (~a) = Vect(~a, f (~a)). (a) Montrer que F (~a) est stable par f . (b) Montrer que la famille (~a, f (~a)) est libre. En déduire la dimension de F (~a). (c) Quelle est la matrice de la restriction f|F (~a) dans la base (~a, f (~a)) ? 2. On construit (tant que c'est possible) une suite (~ai ) de la manière suivante : ~a1 ∈ E , ~a1 6= ~0E h et pour k > 0, ~ak+1 ∈ E \ F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) . i (a) Montrer que F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) ∩ F (~ak+1 ) = {~0E }. (b) Montrer par récurrence sur k que la somme F (~a1 ) + · · · + F (~ak ) est directe. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel déni par cette somme ? 3. Déduire des questions précédentes qu'il existe p ∈ N∗ tel que E = F (~a1 )⊕· · ·⊕F (~ap ). En déduire que la dimension de E est paire et donner la matrice de f dans une base bien choisie. [al011] 2/2