Algèbre linéaire: généralités PC* 2013 − 2014 1. E est un K -ev de dimension n, n > 0 et f est un endomorphisme de E de rang 1. (a) Montrer qu'il existe a ∈ E , non nul, et φ, forme linéaire vériant : ∀x ∈ E, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. f (x) = φ(x).a (b) Soit g = IdE + tf , t ∈ K . Etudier si g est inversible. E = C(R, R) . Pour tout entier n, on dénit : fn : x 7→ cos(2x + n). Etudier, pour n xé, la liberté de la famille (f0 , ..., fn ). F1 etF2 sont deux sev d'un même K-ev E . Montrer que : F1 ∪ F2 est un sev ssi F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 et F1 ∩ F2 = F1 + F2 ssi F1 = F2 . E, F, G sont trois K -ev de dimension nie. u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G). (a) Montrer que rg(v ◦ u) ≤ inf(rg(u), rg(v)) (b) En utilisant v ′ = v/u(E) , montrer que rg(u) + rg(v) − dim(F ) ≤ rg(v ◦ u). E = F (R, C).Etudier la liberté de la famille de fonctions suivante : ep : x 7→ exp(ipx) pour p ∈ Z. f, g sont deux endomorphismes d'un espace E de dimension nie qui vérient : E = Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + Ker(g). Montrer que ces deux sommes sont directes. E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 / − x − 2y + 2z + t = 0}, D = V ect((1, 2, 1, 1)) . E1 et D sont-ils en somme directe ? De même étudier F1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y + z = y − 2z + t = 0} et F2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + 2y − t = x + 2z − t = 0}. Base et dimension de F1 , F2 .Sont-ils en somme directe ? Dans le cas où les espaces précédents sont en somme directe, déterminer l'expression des projections associées. On dénit une famille de polynômes de R[X] par B0 = 1 et, pour tout entier strictement positif p, Bp = X(X − 1)...(X − p + 1). Montrer que la famille (Bp )p∈N est une base de R[X]. Déterminer alors tous les polynômes à coecients réels qui prennent une valeur entière en tout point de Z. E, F sont deux K -ev de dimension nie et W un sev de E . Soit A = {u ∈ L(E, F )/W ⊂ Ker(u)}. Montrer que A est un sev de L(E, F ) dont on déterminera la dimension. E = C([0, 2], R), F est le sev de E formé des fonctions f de E dont la restriction à chacun des intervalles [0,1] et [1,2 ] est un polynôme de degré au plus 2. Montrer que F est un sev de dimension nie dont on déterminera le dimension. E est un K-ev de dimension n, n > 0 , et (e1 , ..., en ) est une base de E . (λ1 , λ2 , ..., λn ) est un élément de K n . Pour tout i, i = 1..n, on note ui = u + ei où u est le vecteur u = n ∑ λi ei . i=1 Montrer que (u1 , ..., un ) est une base de E ssi n ∑ i=1 λ1 ̸= −1 . PC* Algèbre linéaire: généralités 2013 − 2014 12. E, F sont deux K -ev et f ∈ L(E, F ). Existe-t-il toujours g ∈ L(F, E) telle que f ◦ g = IdF ? 13. E = C([0, 1], R). A tout f ∈ E on ∫associe la fonction T (f ) dénie de [0, 1] x dans R par : ∀x ∈ [0, 1], T (f )(x) = f (4(t − t2 ))dt. Montrer qu'on dénit 0 14. 15. 16. 17. 18. ainsi un endomorphisme T de E . T est-il surjectif ? injectif ? E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer que Im(f ) admet un − → supplémentaire dans E stable par f si et seulement si Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0E }. Montrer que, dans ces conditions, Kerf est l'unique supplémentaire de Imf stable par f . p, q sont deux projecteurs de E . Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = O. Dans le cas où p + q est un projecteur, déterminer Im(p + q) et Ker(p + q). E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) : f 2 = O et (ii) : ∃(g, h) ∈ (L(E))2 /g ◦ f = h et h ◦ g = O E = Rn . Caractériser tous les endomorphismes f de E tels que Im(f ) = Ker(f ). Trouver une matrice simple représentant de tels endomorphismes dans une base convenable. E = R4 , B est une base donnée de E , f ∈ L(E) est de matrice A dans B avec : 2 −3 A= −4 −5 3 −1 0 1 0 2 5 −1 4 9 −2 6 Déterminer Im(f ) et Ker(f ). Déterminer toutes les formes linéaires φ telles que Ker(φ) ⊂ Im(f ). Montrer que l'ensemble de ces formes linéaires dénit un sous-espace vectoriel de E ∗ = L(E, R) dont on déterminera la dimension. 19. Soit Φ l'endomorphisme de Rn [X] déni par : Φ : P (X) 7→ P (X) − P (X + 1). Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de Rn [X] et déduisez-en Im(Φ) et ker(Φ). 20. SoitE l'espace vectoriel des polynômes à coecients dans K (= R ou C) de degré inférieur ou égal à n et f l'endomorphisme de E déni par : f (P ) = P − P ′ . (a) Démontrez que f est bijectif de deux manières : ◦ sans utiliser de matrice de f ◦ en utilisant une matrice de f . (b) Soit Q ∈ E . Trouvez P tel que f (P ) = Q . Indication : si P inE , quel est le polynôme P (n+1) ?