Algèbre linéaire: généralités 1. E est un K-ev de

2013 2014
E K n n > 0f E
aE φ
xE, f(x) = φ(x).a
g=IdE+tf t K g
E=C(R,R)n fn:x7→ cos(2x+n)
n(f0, ..., fn)
F1F2E F1F2
F1F2F2F1F1F2=F1+F2F1=F2
E, F, G K u ∈ L(E, F )v∈ L(F, G)
rg(vu)inf(rg(u), rg(v))
v=v/u(E)rg(u) + rg(v)dim(F)rg(vu)
E=F(R,C)
ep:x7→ exp(ipx)pZ
f, g E
E=Im(f) + Im(g) = Ker(f) + Ker(g)
E1={(x, y, z, t)R4/x2y+ 2z+t= 0}D=V ect((1,2,1,1)) E1
D
F1={(x, y, z, t)R4/2xy+z=y2z+t= 0}
F2={(x, y, z, t)R4/x + 2yt=x+ 2zt= 0}
F1F2
R[X]B0= 1
Bp=X(X1)...(Xp+ 1)
(Bp)pNR[X]
Z
E, F K W E
A={u∈ L(E, F )/W Ker(u)}AL(E, F )
E=C([0,2],R)F E f E
F
E n n > 0 (e1, ..., en)E
(λ1, λ2, ..., λn)Kni i = 1..n ui=u+ei
u u =
n
i=1
λiei
(u1, ..., un)E
n
i=1
λ1̸=1
2013 2014
E, F K f ∈ L(E, F )
g∈ L(F, E)fg=IdF
E=C([0,1],R)fE T (f) [0,1]
Rx[0,1] T(f)(x) = x
0
f(4(tt2))dt
T E T
E f L(E)Im(f)
f Im(f)Ker(f) = {
0E}
Kerf Imf
f
p, q E p +q p q=
qp=O
p+q Im(p+q)Ker(p+q)
E f L(E)
(i) : f2=O
(ii) : (g, h)(L(E))2/g f=h h g=O
E=Rn
f E Im(f) = Ker(f)
E=R4BE f ∈ L(E)AB
A=
2 3 1 0
3 1 0 2
4 5 1 4
5 9 2 6
Im(f)Ker(f)φ
Ker(φ)Im(f)
E=L(E, R)
ΦRn[X] Φ : P(X)7→ P(X)P(X+ 1)
ΦRn[X]Im(Φ)
ker(Φ)
EK R C
n f E
f(P) = PP
f
f
f
QE P f(P) = Q P inE
P(n+1)
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