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Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 5
Compléments d'algèbre linéaire
Exercice 1
Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f 3 − 3f 2 + 2f = 0. On note :
F = Ker f
;
G = Ker(f − IdE )
;
H = Ker(f − 2 IdE )
Montrer que E = F ⊕ G ⊕ H .
[al065]
Exercice 2
Soit E un K-espace vectoriel et p un projecteur de E .
1. Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si Id −p est un projecteur de E .
2. Soient p1 , p2 deux projecteurs tels que p1 ◦ p2 = 0. On pose :
q = p1 + p2 − p2 ◦ p1 .
(a) Montrer que q est un projecteur de E .
(b) Établir les relations :
Ker q = Ker p1 ∩ Ker p2
;
Im q = Im p1 + Im p2
[al066]
Exercice 3
Soit E un K-espace vectoriel et f, g ∈ L(E) tels que :
g◦f ◦g =g
et f ◦ g ◦ f = f
Montrer que Ker f ⊕ Im g = E .
[al067]
Exercice 4
Soit E = {(x, y, z, t) ∈ R4 , x + y − t = 0 et y − z + t = 0}. Montrer que E est un sev de R4 , en donner une base puis
déterminer un supplémentaire de E dans R4 .
[al068]
Exercice 5
Soit F = {P ∈ R3 [X], P (0) = P 0 (1) = 0}. Montrer que F est un sev de R3 [X], en donner une base et trouver un
supplémentaire de F dans R3 [X].
[al069]
Exercice 6
Soient E un K-espace vectoriel de dimension nie, H un hyperplan de E , et F un sous-espace vectoriel de E non inclus
dans H . Montrer :
dim F ∩ H = dim F − 1
[al072]
Exercice 7
Soient H1 , H2 , . . . , Hk k hyperplans d'un K-espace vectoriel E . Montrer par récurrence que
dim H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hk > n − k.
1/2
En déduire que l'intersection de n − 1 hyperplans n'est jamais réduite à {0}.
[al070]
Exercice 8
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n > 1 et F un sous-espace vectoriel de E de dimension k < n. On note
(e1 , . . . , ek ) une base de F , qu'on complète en une base B = (e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en ) de E .
Pour i > k + 1, on note Hi = Vect(e1 , · · · , eˆi , · · · , en ) le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la base B
privée de ei .
1. Montrer que F =
n
\
Hi .
i=k+1
2. Application : donner un système d'équations cartésiennes de la droite de R3 : D = Vect(1, 1, 1).
[al071]
Exercice 9
Soient F1 , . . . , Fp p sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E de dimension nie. Montrer que :
dim(F1 + · · · + Fp ) 6 dim F1 + · · · + dim Fp
avec égalité si et seulement si la somme est directe.
[al073]
Exercice 10
Soit ϕ une forme linéaire sur M2 (K). Montrer qu'il existe A ∈ M2 (K) tel que pour tout M ∈ M2 (K), ϕ(M ) = tr(AM ).
Généraliser le résultat à une forme linéaire sur Mn (K).
[al074]
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