Algèbre linéaire: généralités 1. E est un K

Algèbre linéaire: généralités
PC*
2015 − 2016
1. E est un K-ev de dimension n, n > 0 et f ∈ L(E) est de rang 1.
(a) Montrer qu'il existe a ∈ E , non nul, et ϕ,application linéaire de E dans
K (forme linéaire) vériant :
∀x ∈ E,
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f (x) = ϕ(x).a
(b) Soit g = IdE + tf , t ∈ K . Etudier si g est inversible.
E = C(R, R) . Pour tout entier n, on dénit : fn : x 7→ cos(2x + n). Étudier,
pour N xé, la liberté de la famille (f0 , ..., fN ).
F1 etF2 sont deux sev d'un même K-ev E . Montrer que : F1 ∪ F2 est un sev
ssi F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 et F1 ∩ F2 = F1 + F2 ssi F1 = F2 .
E, F, G sont trois K -ev de dimension nie. u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G).
(a) Montrer que rg(v ◦ u) ≤ inf(rg(u), rg(v))
(b) En utilisant v 0 = v/u(E) , montrer que rg(u) + rg(v) − dim(F ) ≤ rg(v ◦ u).
E = F (R, C).Etudier la liberté de la famille de fonctions suivante :
ep : x 7→ exp(ipx) pour p ∈ Z.
f, g sont deux endomorphismes d'un espace E de dimension nie qui vérient :
E = Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + Ker(g). Montrer que ces deux sommes sont
directes.
E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 / − x − 2y + 2z + t = 0}, D = V ect((1, 2, 1, 1)) . E1 et
D sont-ils en somme directe ? De même étudier
F1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y + z = y − 2z + t = 0} et
F2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + 2y − t = x + 2z − t = 0}.
Base et dimension de F1 , F2 .Sont-ils en somme directe ? Dans le cas où les
espaces précédents sont en somme directe, déterminer l'expression des projections associées.
On dénit une famille de polynômes de R[X] par B0 = 1 et, pour tout entier
strictement positif p, Bp = X(X − 1)...(X − p + 1). Montrer que la famille
(Bp )p∈N est une base de R[X]. Déterminer alors tous les polynômes à coecients réels qui prennent une valeur entière en tout point de Z.
E, F sont deux K-ev de dimension nie et W un sev de E .
Soit A = {u ∈ L(E, F )/W ⊂ Ker(u)}. Montrer que A est un sev de L(E, F )
dont on déterminera la dimension.
E = C([0, 2], R), F est le sev de E formé des fonctions f de E dont la restriction
à chacun des intervalles [0,1] et [1,2 ] est une fonction ane. Montrer que F
est un sev de dimension nie dont on déterminera le dimension.
E est un K-ev de dimension n, n > 0 , et (e1 , ..., en ) est une base de E .
(λ1 , λ2 , ..., λn ) est un élément de Kn . Pour tout i, i = 1..n, on note ui = u + ei
où u est le vecteur u =
n
X
λi ei .
i=1
Montrer que (u1 , ..., un ) est une base de E ssi
n
X
i=1
λ1 6= −1 .
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2015 − 2016
12. E, F sont deux K-ev et f ∈ L(E, F ).
Existe-t-il toujours g ∈ L(F, E) telle que f ◦ g = IdF ?
13. E = C([0, 1], R). A tout f ∈ E on Zassocie la fonction T (f ) dénie de [0, 1]
x
dans R par : ∀x ∈ [0, 1], T (f )(x) =
f (4(t − t2 ))dt. Montrer qu'on dénit
0
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ainsi un endomorphisme T de E . T est-il surjectif ? injectif ?
E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer que Im(f ) admet un
−
→
supplémentaire dans E stable par f si et seulement si Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0E }.
Montrer que, dans ces conditions, Kerf est l'unique supplémentaire de Imf
stable par f .
p, q sont deux projecteurs de E . Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q =
q ◦ p = O.
Dans le cas où p + q est un projecteur, déterminer Im(p + q) et Ker(p + q).
E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E) Montrer que les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
(i) : f 2 = O et
(ii) : ∃(g, h) ∈ (L(E))2 /g ◦ h = f et h ◦ g = O
E = R4 , B est une base donnée de E , f ∈ L(E) est de matrice A dans B avec :

2
 −3
A=
 −4
−5

3 −1 0
1 0 2 

5 −1 4 
9 −2 6
Déterminer Im(f ) et Ker(f ). Déterminer toutes les formes linéaires ϕ telles
que Ker(ϕ) ⊂ Im(f ).
Montrer que l'ensemble de ces formes linéaires dénit un sous-espace vectoriel
de E ∗ = L(E, R) dont on déterminera la dimension.
18. Soit n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn 2n réels vériant a1 < b1 < a2 < b2 < · · · <
an < bn .
(a) Soit a, b deux réels avec a < b et P ∈ R[X] tel que
Z
b
P (t)dt = 0. En
a
utilisant le théorème de Rolle montrer que P possède au moins une racine
dans ]a, b[.
n
(b) Soit ϕ l'application
de Rn−1Z[X] dans R
Z
qui à tout polynôme P associe
bn
b1
ϕ(P ) =
P (t)dt, . . . ,
a1
P (t)dt . Vérier rapidement que ϕ est
an
linéaire et déterminer son noyau.
(c) Montrer que ∀(α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , il existe un unique élément P de Rn−1 [X]
tel que
Z
bi
∀i ∈ {1, . . . , n},
P (t)dt = αi .
ai