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UNIVERSITÉ MONTPELLIER
Département de Mathématiques
Année 20162017
Algèbre Linéaire et Analyse 2
HLMA203
Série 1 & Série 3
◦
Recueil d'Exercices n 3 :
Bases, dimension, théorème du rang, matrice d'une application linéaire.
La plupart de ces exercices sont tirés du site internet exo7. On peut donc les retrouver (ainsi que des
indications supplémentaires et une correction) à l'adresse suivante : http://exo7.emath.fr.
1
Exercices communs
1. Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0) forment une base de
R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1) dans cette base (v1 , v2 , v3 ).
Exercice 1.
2. Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1) forment une base de R3 . Trouver
les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base
(v1 , v2 , v3 ).
3. Dans R3 , donner un exemple de famille libre qui n'est pas génératrice.
4. Dans R3 , donner un exemple de famille génératrice qui n'est pas libre.
Exercice 2. Déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les vecteurs (1, 0, t), (1, 1, t), (t, 0, 1) forment une base
de R3 .
Exercice 3.
C3 .
1. Montrer que les vecteurs v1 = (1, −1, i), v2 = (−1, i, 1), v3 = (i, 1, −1) forment une base de
2. Calculer les coordonnées de v = (1 + i, 1 − i, i) dans cette base.
Exercice 4. Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie ; rappelons que l'on a déni en cours un hyperplan
linéaire comme étant le noyau d'une forme linéaire f de E dans K non identiquement nulle.
1. Soit H un hyperplan linéaire de E ; pour tout u ∈ E\H , montrer que la droite linéaire D = K.u est
supplémentaire à H .
2. En déduire que H est un hyperplan de E si et seulement si dim H = dim E − 1.
Exercice 5.
Chaque équation, ci-dessous, dénit un hyperplan linéaire : trouver-lui une base.
1. (x, y, z, t) ∈ R4 , 2x − 3y + 2z − 4t = 0 ;
2. (x, y) ∈ R2 , −x + 3y = 0 ;
3. (x, y, z) ∈ R3 , x + y = 0 ;
4. (x, y, z, t) ∈ R4 , x − z + t = 0.
Exercice 6.
On considère, dans R4 , les vecteurs :
v1 = (1, 2, 3, 4),
v2 = (1, 1, 1, 3),
v3 = (2, 1, 1, 1),
v4 = (−1, 0, −1, 2),
v5 = (2, 3, 0, 1).
Soit F l'espace vectoriel engendré par {v1 , v2 , v3 } et soit G celui engendré par {v4 , v5 }. Calculer les dimensions
respectives de F , G, F ∩ G, F + G.
1. Soit E = R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Montrer
que la famille (1, X + 1, X 2 + X + 1) est une base de E . Donner les coordonnées de P = X 2 dans cette
base.
Exercice 7.
2. Dans E = Rn [X], montrer que toute famille de polynômes {P0 , P1 , . . . , Pn } avec deg Pi = i (pour
i = 0, 1, . . . , n) forme une base de E .
Exercice 8. Soient deux sous-espaves vectoriels F et G d'un espace vectoriel de dimension nie E . Montrer
que deux propriétés quelconques parmi les suivantes entraîne la troisième.
1. E = F + G ;
2. F ∩ G = {OE } ;
1
3. dim(E) = dim(F ) + dim(G).
Exercice 9.
Soit f l'endomorphisme f : R2 −→ R2 , f (x, y) = (y, 0).
1. Montrer que Ker(f ) = Im(f ).
2. A-t-on : E = Im(f ) ⊕ Ker(f ) ?
3. Est-ce contradictoire avec le théorème du rang ?
Soient deux e.v F et G de dimensions nies, munis de bases, F ⊂ F et G ⊂ G. En déduire une
base B de F × G et montrer la formule : dim(F × G) = dim(F ) + dim(G).
Exercice 10.
Pour deux sous-espaces vectoriels de dimensions nies F et G, d'un espace vectoriel .E , soit
l'application Ψ : F × G −→ F + G, Ψ(x, y) = x + y .
Exercice 11.
1. Vérier que Ψ est linéaire et surjective.
2. Montrer que Ker(Ψ) est isomorphe à F ∩ G.
3. En déduire une nouvelle preuve de la relation de Grassmann.
Exercice 12. Soit f l'application de Rn [X] dans R[X] dénie en posant pour tout P (X) ∈ Rn [X] : f (P (X)) =
P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X).
1. Montrer que f est linéaire et que son image est incluse dans Rn [X].
2. Dans toute la suite on xe n = 3. On considère donc f comme étant un endomorphisme de R3 [X]. Donner
la matrice de f dans la base 1, X, X 2 , X 3 .
3. Déterminer le noyau et l'image de f . Calculer leur dimension respective.
Soient trois vecteurs e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note φ l'application linéaire dénie
par φ(e1 ) = e3 , φ(e2 ) = −e1 + e2 + e3 et φ(e3 ) = e3 .
Exercice 13.
1. Écrire la matrice A de φ dans la base (e1 , e2 , e3 ). Déterminer le noyau de cette application.
2. On pose f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3 en fonction de f1 , f2 , f3 . Les
vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3 ?
3. Calculer φ(f1 ), φ(f2 ), φ(f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B de φ dans la base (f1 , f2 , f3 ) et
trouver la nature de l'application φ.


1
1 −1
4. On pose P =  0 −1 1 . Vérier que P est inversible et calculer P −1 . Quelle relation lie A, B , P
−1 0
1
et P −1 ?
2
Exercices supplémentaires
Soit f l'endomorphisme de R de matrice A =
−2
−2
e1 =
et e2 =
.
3
5
2
Exercice 14.
2
− 52
2
3
− 23
dans la base canonique. Soient
1. Montrer que B 0 = (e1 , e2 ) est une base de R2 et déterminer MatB0 (f ).
2. Calculer An pour n ∈ N.


xn+1 = 2xn + 2 yn
3
3. Déterminer l'ensemble des suites réelles qui vérient ∀n ∈ N
5
2

yn+1 = − xn − yn
2
3
Exercice 15.
.
Soient les fonctions réelles e+ , e− : R −→ R, e+ (x) = ex et e− (x) = e−x .
1. Montrer que e = (e+ , e− ) est une base de E = V ect(e).
2. Donner les coordonnées des fonctions hyperboliques Sh et Ch dans la base e.
3. Montrer que h = (Ch, Sh) est une base de E .
1. Rappeler pourquoi le corps C est un C-espace vectoriel. Donner une base de cet espace et
donner sa dimension.
Exercice 16.
2. Verier que C est aussi un espace vectoriel sur R, donner une base de C sur R et en déduire la dimension
de C sur R.
2
3. Dans toute la suite on considère un espace vectoriel complexe E , possédant une base nie C = (c1 , c2 , ..., cn ).
Donner la dimension (complexe) de E , dimC (E).
4. Pourquoi E est-il aussi un espace vectoriel réel ?
5. Partant de C , construire une base vectorielle réelle R de E .
6. En déduire la dimension "réelle" de E , dimR (E).
3