Chapitre 1 Eléments de logique - IMJ-PRG

Chapitre 1
El´ements de logique
Le contenu de ce chapitre n’est pas un cours de logique. La logique a
pour objet d’´etude les processus de la pens´ee, elle ne montre `a proprement
parler aucun r´esultat, elle d´ecrit ce qu’est un raisonnement valide et ex-
plique pourquoi un raisonnement donn´e est valide. Elle est sous-jacente `a
toute construction math´ematique mais aussi `a toute construction th´eorique.
Il existe plusieurs forme de logique, logique du premier ordre , logique multi-
valu´ee, diff´erente forme de logique ”floue”. Nous pr´esentons ici simplement
quelque ”´el´ement” de logique du premier ordre qui est la forme de la logique
la plus utilis´ee en math´ematique.
1.1 Les deux diff´erents types d’´enonc´es
Il y a en math´ematique deux grandes cat´egories d’´enonc´es, les ´enonc´es
qui repr´esentent ou d´esignent les objets ´etudi´es et les ´enonc´es qui affirment
une propri´et´e qu’ont (ou n’ont pas) les objets ´etudi´es.
Exemples
- Homer, Bart, Lisa.
-Homer est gros.
-Bart est un lapin.
-L’ensemble des entiers naturels.
-L’application `a valeur r´eelle de la variable r´eelle f:x7→ sin(x)est
continue sur R.
-Les fonctions polynˆomiales sont des fonctions croissantes sur R.
Les ´enonc´es 1 et 4 d´esignent des objets. Les ´enonc´es 2, 3, 5 et 6 sont des
affirmations.
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2CHAPITRE 1. LOGIQUE
Concernant les ´enonc´es d´esignant des objets, les concepts de vrai ou faux
n’ont aucun sens, en revanche un ´enonc´e qui est une affirmation peut ˆetre
vrai ou faux on dit qu’il admet une v´eracit´e ou une valeur de v´erit´e.
Exemples
- Dire ou ´ecrire ”la fonction sinus est fausse” ou ”le lapin est vrai” sont
des ´enonc´es qui n’ont pas sens.
-”L’application f:R→R;x7→ sin(x)est continue sur R”
est une affirmation vraie.
-” Les fonctions polynˆomiales sont des fonctions croissantes sur R”
est une affirmation fausse.
Exercice 1. Parmi les ´enonc´es suivants lesquels ont un sens ? lesquels
d´esignent un objet ? une affirmation ? lesquels admettent une v´eracit´e ? (tir´e
d’un po`eme de R.Desnos)
- Une fourmi de dix-huit m`etres ¸ca n’existe pas !
- Une fourmi parlant fran¸cais, parlant latin et javanais.
- Cette fourmi est fausse.
- Une vraie fourmi.
1.2 Id´ees g´en´erales sur la construction axio-
matique
Les math´ematiques sont une juxtaposition de constructions appel´ees
th´eories, ce qu’est exactement une th´eorie ne se d´egage avec pr´ecision qu’au
fur et `a mesure de l’histoire de la pens´ee scientifique et math´ematique en
particulier. Les premiers textes dans lesquels on distingue clairement ce qu’est
une th´eorie sont des textes ´ecrits vers la fin de l’´epoque hellenistique (-300,
100), l’un des plus c´el`ebres est Les ´el´ements d’Euclide.
Compos´e de 13 livres traitant de diff´erents th`emes, g´eom´etrie plane et
arithm´etique . La structure globale du texte est en trois parties :
- Une premi`ere partie fixe et donne un nom aux objets qui vont ˆetre ´etudi´es,
points, droites, cercles,...
- Une deuxi`eme partie est une liste d’affirmations faites sur les objets d´ecrits
en premi`ere partie. Ces affirmations sont les axiomes de la th´eorie, elles sont
affubl´ee d’office d’une valeur de v´erit´e ”vraie”.
- La troisi`eme partie est ´egalement une liste d’affirmations faites sur les objets
d´ecrits dans la premi`ere partie, mais contrairement aux axiomes ´enonc´es
dans la seconde partie, ces affirmations sont d´eduites des axiomes, elles sont

1.2. ID ´ EES G ´ EN ´ ERALES SUR LA CONSTRUCTION AXIOMATIQUE 3
appel´ees propositions ou th´eor`emes. Chacune de ces affirmations est suivie
d’un texte (la d´emonstration) : partant des valeurs de v´erit´es (d´ej`a connues)
de certaines affirmations et en appliquant des r`egles de d´eduction (les r`egles
de la logique) la d´emonstration ´etablit que l’´enonc´e propos´e admet une valeur
de v´erit´e ”vraie”.
1.2.1 Termes
Les objets ´etudi´es sont repr´esent´es par des lettres appel´es des termes. Par
exemple dans la phrase ” les points A, B et Csont align´es” Les lettres A, B
et Csont des termes (chacun d’eux repr´esente un objet appel´e ”point”). Un
terme peut prendre une valeur, par exemple dans les phrases ”Soit xun r´eel
alors exest un r´eel positif” et ” si on suppose que le r´eel xvaut 1alors
x+ 2 = 3”la lettre xest un terme elle repr´esente un objet, dans les deux cas
cet objet est un r´eel, dans la premi`ere phrase le r´eel repr´esent´e par le terme
xn’est pas pr´ecis´e, dans la seconde on affecte au terme xune valeur pr´ecise.
Il arrive souvent qu’on rencontre des objets d’un ”type” nouveau, dans
ce cas on d´ecrit pr´ecis´ement quelle est la nature de ces objets grˆace `a une
d´efinition et on fixe tr`es souvent une notation.
Exemples
-D´efinition :On appelle nombre premier tout entier naturel diff´erent
de 1 qui n’est divisible que par 1 et par lui-mˆeme.
Cette d´efinition permet par exemple d’´ecrire
”Soit pun nombre permier”
au lieu de
”Soit pun entier naturel diff´erent de 1 et qui n’est divisible que par 1
et par lui-mˆeme.”
-Notation :L’ensemble des entiers naturels est not´e N.
Cela permet dans un texte de substituer la notation N`a la phrase
”l’ensemble des entiers naturels”.
-D´efinition et notation :Une sph`ere est l’ensemble des points de
l’espace ´equidistants d’un mˆeme point appel´e centre de la sph`ere,
la distance commune entre chaque point de la sph`ere et son centre est
appel´e rayon de la sph`ere. La sph`ere de centre Cet rayon %
est not´ee S(C, %).
Il peut arriver qu’aucun objet n’entre dans le cadre d’une d´efinition donn´ee.
Exemples
-D´efinition :Une Drˆole de fonction est une fonction r´eelle de la variable
r´eelle continue et admettant une limite ´egale `a +∞en 0.

4CHAPITRE 1. LOGIQUE
Il n’existe aucune ”drˆole de fonction”. On dit que cette d´efinition
est ”vide”.
1.2.2 Assertions
Une assertion est la repr´esentation d’une affirmation. On a d´ej`a dit qu’une
affirmation peut ˆetre vraie ou fausse, les axiomes sont des assertions dont on
d´ecide arbitrairement qu’elles sont vraies.
Exemples
- ”Par un point hors d’une droite donn´ee du plan passe une et une seule
droite parall`elle ”
C’est un des axiomes d’Euclide.
Un axiome ne se d´emontre pas, il est vrai a priori. C’est sur la collection des
axiomes que repose l’ensemble de la th´eorie :
Apr`es s’ˆetre donn´e une liste d’axiome on applique des r`egles de d´eduction
(que nous ´etudierons plus tard) pour trouver de nouvelles assertions vraies.
Ces nouvelles assertions sont appel´ees th´eor`emes, lemmes, ou corollaires. La
distinctions entre ces trois types d’assertion est plutˆot de nature culturelle
voire ´emotionnelle, les th´eor`emes sont les assertions qui semblent les plus
importantes, les lemmes sont des assertions pr´eparatoires aux th´eor`emes, les
corollaires sont des cons´equences de th´eor`emes.
Ce qu’on exige de la collection initiale d’axiome est qu’ils ne soient pas
contradictoires .
Les th´eor`emes, lemmes et corollaires sont accompagn´es d’un texte appel´e
d´emonstration ce texte ´etablit la v´eracit´e de l’´enonc´e.
Un type particulier d’assertions sont les ´egalit´es : si aet bsont deux
termes, lorqu’ils d´esignent le ”mˆeme” objet on dit que a´egale bet on ´ecrit
a=b.
Exemples
-”5 = 3 + 3”, ”7 = 4 + 3” sont des assertions, la premi`ere est fausse,
la seconde est vraie.
Le symbole ”=” ne peut ˆetre ´ecrit qu’entre deux termes !
Par exemple,”(x+4=0)=(x=−4)” n’a pas de sens puisque (x+ 4 = 0)
est une assertion et non un terme.

1.3. R ` EGLES ET SYMBOLES LOGIQUES 5
1.3 R`egles et symboles logiques
Les symboles logiques sont des symboles qui permettent d’´ecrire de nou-
velles assertions `a partir d’assertions d´ej`a ´ecrites, ils ob´e¨ıssent `a des r`egles de
syntaxe pr´ecises qui doivent ˆetre respect´ees. Les r`egles logiques ´etablissent
les valeurs de v´erit´e des assertions ´ecrites `a l’aide des symboles logiques et
d’assertions de valeur de v´erit´e connues .
†La n´egation
Syntaxe :Soit Aune assertion. En ´ecrivant `a gauche de Ale symbole
”NON”, on obtient une assertion ”NON (A)”.
Exemple
Si Aest l’assertion ”la fonction cosinus est continue”. On obtient une nou-
velle assertion en ´ecrivant ”NON (la fonction cosinus est continue)” dans
l’usage courant on utilisera bien entendu plutˆot la phrase La fonction cosinus
n’est pas continue”.
L’assertion ”NON (A)” est appel´ee la n´egation de A.
R`egle logique :La v´eracit´e d’une n´egation s’obtient par application de la
r`egle suivante donn´ee sous forme d’un tableau de v´erit´e.
A NON A
V F
F V
On dit qu’une famille d’axiome est non contradictoire lorsqu’on ne peut
pas en d´eduire d’assertions qui soient `a la fois vraie et fausse.
†La disjonction
Syntaxe :Soit Aet Bdeux assertions. Une nouvelle assertion est obtenue
en ´ecrivant AouB.
L’assertion ”Aou B” est appel´ee la disjonction de Aet de B.
R`egle logique :La v´eracit´e d’une disjonction s’obtient par application de
la r`egle suivante donn´ee sous forme d’un tableau de v´erit´e.
A B A ou B
V V V
V F V
F V V
F F F
La n´egation NON et la disjonction ou sont deux symboles logiques `a par-
tir desquels on peut d´efinir tous les autres symboles logiques, les symboles
suivants peuvent donc ˆetre vus comme de simple abbr´eviations destin´ees `a
all´eger les textes.