2CHAPITRE 1. LOGIQUE
Concernant les ´enonc´es d´esignant des objets, les concepts de vrai ou faux
n’ont aucun sens, en revanche un ´enonc´e qui est une affirmation peut ˆetre
vrai ou faux on dit qu’il admet une v´eracit´e ou une valeur de v´erit´e.
Exemples
- Dire ou ´ecrire ”la fonction sinus est fausse” ou ”le lapin est vrai” sont
des ´enonc´es qui n’ont pas sens.
-”L’application f:R→R;x7→ sin(x)est continue sur R”
est une affirmation vraie.
-” Les fonctions polynˆomiales sont des fonctions croissantes sur R”
est une affirmation fausse.
Exercice 1. Parmi les ´enonc´es suivants lesquels ont un sens ? lesquels
d´esignent un objet ? une affirmation ? lesquels admettent une v´eracit´e ? (tir´e
d’un po`eme de R.Desnos)
- Une fourmi de dix-huit m`etres ¸ca n’existe pas !
- Une fourmi parlant fran¸cais, parlant latin et javanais.
- Cette fourmi est fausse.
- Une vraie fourmi.
1.2 Id´ees g´en´erales sur la construction axio-
matique
Les math´ematiques sont une juxtaposition de constructions appel´ees
th´eories, ce qu’est exactement une th´eorie ne se d´egage avec pr´ecision qu’au
fur et `a mesure de l’histoire de la pens´ee scientifique et math´ematique en
particulier. Les premiers textes dans lesquels on distingue clairement ce qu’est
une th´eorie sont des textes ´ecrits vers la fin de l’´epoque hellenistique (-300,
100), l’un des plus c´el`ebres est Les ´el´ements d’Euclide.
Compos´e de 13 livres traitant de diff´erents th`emes, g´eom´etrie plane et
arithm´etique . La structure globale du texte est en trois parties :
- Une premi`ere partie fixe et donne un nom aux objets qui vont ˆetre ´etudi´es,
points, droites, cercles,...
- Une deuxi`eme partie est une liste d’affirmations faites sur les objets d´ecrits
en premi`ere partie. Ces affirmations sont les axiomes de la th´eorie, elles sont
affubl´ee d’office d’une valeur de v´erit´e ”vraie”.
- La troisi`eme partie est ´egalement une liste d’affirmations faites sur les objets
d´ecrits dans la premi`ere partie, mais contrairement aux axiomes ´enonc´es
dans la seconde partie, ces affirmations sont d´eduites des axiomes, elles sont