Lois des exposants et des radicaux

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 2 1
PROPRI´ ET´ ES DES EXPOSANTS ET DES RADICAUX
1 Propri´et´es des exposants entiers
Soit aet bdeux nombres r´eels quelconques et met ndeux entiers positifs. On d´efinit
la ni`eme puissance de acomme suit:
an=
Exemple 1 : 24=
Propri´et´e 1
am×an=
Illustration : (a×a×. . . ×a×a
| {z }
mfois
)×(a×a×. . . ×a×a
| {z }
nfois
) = a×a×. . . ×a×a
| {z }
m+nfois
.
Exemple 2 : 62×63=
Propri´et´e 2
am
an= si a6= 0
Illustration :
mfois
z }| {
a×a×. . . ×a×a
a×a×. . . ×a×a
| {z }
nfois
=a×a×. . . ×a×a
| {z }
m−nfois
.
Exemple 3 : 45
42=
Propri´et´e 3
a0= si a6= 0
Illustration : Lorsque m=n, on obtient :
am
an=an an
|{z}
=1
=an−n=a0

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 2 2
Propri´et´e 4
a−n= si a6= 0
Illustration : a−n=a0−n=a0
an=1 an
Exemple 4 : 5 ×3−4=
Exemple 5 : 32
35=
Propri´et´e 5
(am)n=
Illustration : (am)n=am×am×. . . ×am
| {z }
nfois
=a
nfois
z }| {
m+m+. . . +m=am×n.
Exemple 6 : (42)3=
Propri´et´e 6
(a×b)m=
Illustration : (a×b)m= (a×b). . . (a×b)
| {z }
mfois
=a×. . . ×a
| {z }
mfois ×b×. . . ×b
| {z }
mfois
=am×bm.
Exemple 7: 43×53=
Propri´et´e 7
a
bm= si b6= 0
Illustration : a
bm=a b×a b×. . . ×a b×a b
| {z }
mfois
=
mfois
z }| {
a×a×. . . ×a×a
b×b×. . . ×b×b
| {z }
mfois
=am
bm.
Exemple 8 : 4
34
=

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 2 3
2 Propri´et´es des exposants fractionnaires
D´efinition : Une racine ni`eme d’un nombre r´eel aest un nombre r´eel btel que bn=a
o`u nest un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
b=n
√a=a1/n car bn=a1/nn=an/n =a1=a
Dans la mesure o`u les expressions `a exposants fractionnaires sont d´efinies, les
propri´et´es 1 `a 7 ´enonc´ees pr´ec´edemment sont toujours applicables.
Propri´et´e 8
am
n= lorsque n
√aest d´efinie
Illustration : am
n=a1 n
×m=a1
nm=n
√amou encore am
n=am×1 n= (am)1
n=n
√am.
Exemple 9 : 64/3=
Exemple 10 : (−3)3/4=
Exemple 11 : (−3)3/5=
Note :
- Lorsque aest un nombre positif, les deux expressions ( n
√a)met n
√amsont
´equivalentes.
- Lorsque aest un nombre n´egatif, les deux expressions ( n
√a)met n
√amne sont
pas toujours ´equivalentes puisque l’expression n
√an’est pas d´efinie lorsque nest
pair.
- Certains mod`eles de calculatrice (TI30X) ne sont pas programm´ees pour
effectuer des op´erations du type ”nombre n´egatif affect´e d’un exposant
fractionnaire”. Pour d´eterminer la valeur num´erique de l’exemple 11, il est alors
n´ecessaire de proc´eder en deux ´etapes (exposant et racine).
Propri´et´e 9
n
ra
b= si b6= 0, n
√aet n
√bsont d´efinies
Illustration : n
ra
b=a b1
n=a1
n
b1
n
=
n
√a
n
√b.
Exemple 11 : 3
r27
64 =

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 2 4
Propri´et´e 10
n
√a×b= si n
√aet n
√bsont d´efinies
Illustration : n
√a×b= (a×b)1
n=a1
n×b1 n=n
√a×n
√b.
Exemple 12 : √225 =
3 Exercices et solutions (sans calculatrice)
Question 1 :´ Evaluer les expressions suivantes (utiliser les propri´et´es des exposants).
a) 23f) −24k) 3
2−2
b) 2−3g) 2−3×32×45
38×2−1×9−3l) 3 2−2
c) (−2)3h) (2−5)3×3−8×27
(22×36)−2m) (2 + 3)2
d) −23i) 1
24×1 2−2
1
2−3×1 25n) 22+ 32
e) (−2)4j) 23×32×22
26×3×2−1o) (21+3)2
Question 2 :´ Evaluer les expressions suivantes (utiliser les propri´et´es des radicaux).
a) √25 d) √−25 g) 3
√85
3
√82
b) 3
√27 e) √15√21√35 h) 3 √3375
c) 3
√−27 f) 3
√12 3 √12 3 √12 i) 4
r81
16
R´eponses
1a) 8 1i) 1 2b) 3
1b) 1
81j) 3 2c) −3
1c) −8 1k) 12 2d) n’existe pas
1d) −8 1l) 4
92e) 105
1e) 16 1m) 25 2f) 12
1f) −16 1n) 13 2g) 8
1g) 256 1o) 256 2h) 15
1h) 81
16 2a) 5 2i) 3 2