Terminale S1 Année scolaire 2012-2013 Devoir maison numéro 3

Terminale S1 Ann´ee scolaire 2012-2013
Devoir maison num´ero 3
Partie A — Une d´emonstration
1. Soit un nombre complexe z, dont la forme alg´ebrique est : z=x+iy.
Justifier que : 0 ≤x2≤| z|2et 0 ≤y2≤| z|2.
2. Soit une suite de nombres complexes dont le terme g´en´eral est : zn=xn+iyn.
D´emontrer la propri´et´e suivante :
Si le module de znconverge vers 0, alors la suite (zn) converge vers 0.
Partie B — Une suite r´ecurrente
Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O, ~u, ~v). L’unit´e graphique est 4 cm.
Soit λun nombre complexe non nul et diff´erent de 1.
On d´efinit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par :
z0= 0
zn+1 =λ·zn+i
On note Mnle point d’affixe zn.
1. Algorithme de trac´e
a) Concevoir un algorithme qui :
•demande les parties r´eelle et imaginaire d’un nombre λ;
•calcule les 20 premiers termes de la suite (zn), et place les points Mncorrespondants.
b) Tester l’algorithme avec diff´erents λ(λr´eel, imaginaire pur, de module 1, de module inf´erieur `a 1. . . ), et pr´eciser
s’il se passe quelque chose de remarquable dans chaque cas.
2. Calcul de znen fonction de net de λ.
Un outil peut-ˆetre utile : si q6= 1, alors 1 + q+q2+···+qn=...
a) Exprimer z1,z2et z3en fonction de λ.
b) Conjecturer l’expression de znen fonction de net de λ. D´emontrer cette conjecture par r´ecurrence.
Partie C — Deux cas particuliers
1. Explorer le cas o`u λ=i: calculs, repr´esentation graphique, propri´et´es. . .
2. Explorer le cas o`u |λ|<1 : conjecturer une propri´et´e et la d´emontrer.
Si nous d´esirons vaquer s´erieusement `a l’´etude de la philosophie et `a la recherche de toutes les v´erit´es que
nous sommes capables de connaˆıtre, nous nous d´elivrerons, en premier lieu, de nos pr´ejug´es, et ferons
´etat de rejeter toutes les opinions que nous avons autrefois re¸cues en notre cr´eance, jusqu’`a ce que nous
les ayons derechef examin´ees.
Ren´e Descartes, Les principes de la philosophie.