Nombres complexes partie 1

2
Nombres complexes 1/2
CHAPITRE
L’ensemble de Mandelbrot est une fractale d´efinie comme l’ensemble
des points cdu plan complexe pour lesquelles la suite d´efinie par z0= 1 et
zn+1 =zn2+cne tend pas vers l’infini en module.

Ensemble des nombres complexes
1
11Motivations
´
Etant donn´e que certaines ´equations polynomiales `a coefficients r´eels n’ont pas toujours
de solution, on cherche `a construire un nouvel ensemble de nombres :
•contenant tous les nombres r´eels,
•muni de deux op´erations prologeant l’addition et la multiplication des nombres r´eels
et ayant les mˆemes r`egles de calculs,
•contenant un ´el´ement not´e itel que i2=−1,
•tout nombre zs’´ecrive de mani`ere unique z=a+ib o`u aet bsont des r´eels.
Un tel ensemble existe, il s’agit de l’ensemble des nombres complexes not´e C.
12Vocabulaire et premi` eres propri´ et´ es
Un nombre complexe est un nombre de la forme a+ib, o`u aet bsont deux r´eels
et iest le nouveau nombre tel que i2=−1.
D´ efinition 1
On d´efinit un ensemble C
•muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de R
•contenant un nombre iv´erifiant i2=−1
•tel que chaque ´el´ement zde Cpeut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme
z=a+ib avec aet bdeux nombres r´eels
Th´ eor` eme 1
Cette ´ecriture z=a+ib unique est appel´ee forme alg´ ebrique du complexe z.
Le nombre r´eel aest appell´e partie r´ eelle de zet not´ee Re(z)
Le nombre imaginaire best appell´e partie imaginaire de zet not´ee Im(z)
D´ efinition 2
Soit z=a+ib et z0=c+id deux nombres complexes on d´efinit les deux op´erations
addition et multiplication :
•z+z0= (a+c) + i(b+d)•z×z0= (ac −bd) + i(ad +bc)
D´ efinition 3
On v´erifie que ces deux op´erations sont associatives, communatives que la multiplica-
tion est distributive par rapport `a l’addition.
identit´ es remarquables complexes
•(a+ib)2=a2+ 2iab −b2
•(a−ib)2=a2−2iab −b2
•(a+ib)×(a−ib) = a2+b2
Propri´ et´ e 1

3Chapitre 2. Nombres complexes 1/2
Repr´ esentation g´ eom´ etrique
2
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e
(O;−→ u;−→ v) :
•`a tout complexe z=a+ib avec aet bdeux
r´eels, on associe le point M(a;b) et le vec-
teur −→ w(a;b).
•R´eciproquement `a tout point M(a;b) et vec-
teur −→ w(a;b) du plan on associe le nombre
complexe z=a+ib. On dit que le point M
et le vecteur ont pour affixe z.
Le plan est alors appel´e plan complexe.
−→
u
−→
v
−→
w
M
D´ efinition 4
Remarques.
•Si b= 0 alors z=ad’o`u zest un r´eel, le point Md’affixe zappartient `a l’axe des
abscisses.
•Si a= 0 alors z=ib on dit que zest un imaginiare pur, le point Md’affixe z
appartient `a l’axe des ordonn´ees.
•L’axe des abscisses est appell´e axe des r´ eels et l’axe des oordonn´ees est appell´e
axe des imaginairs purs.
Soit les points Aet Bd’affixes respectives zAet zBalors le vecteur −−→ AB a pour
affixe zB−zA.
Propri´ et´ e 2
Conjugu´ e d’un complexe
3
On appelle conjugu´ edu nombre complexe z=a+ib le nombre z=a−ib.
D´ efinition 5
Exemples.
3−2i= 3 + 2i5 + i= 5 −i3=3 i=−i
lien entre conjugu´ e et parties r´ eelle et imaginaire
•Re(z) = 1
2(z+z)•Im(z) = 1 2i(z−z)
Propri´ et´ e 3
D´emonstration.
soit zun nombre complexe z=a+ib avec aet bdeux r´eels on a :
z+z=a+ib +a−ib
z+z= 2a
z+z= 2Re(z)
Re(z) = 1
2(z+z)
z−z=a+ib −(a−ib)
zz = 2ib
z−z= 2iIm(z)
Im(z) = 1
2i(z−z)
3

Propri´ et´ es des conjugu´ es
•z=z
•z1+z2=z1+z2
•z1z2=z1z2
•zn=zn
•1
z=1 z
•z1
z2=z1 z2
Propri´ et´ e 4
Remarques. Le produit zz est un r´eel positif, en effet zz =a2+b2
•zest un r´eel ⇐⇒ z=z•zest un imaginaire pur ⇐⇒ z=−z
Propri´ et´ e 5
Remarques.
•Pour d´emontrer qu’un nombre complexe zest r´eel, on peut calculer son conjugu´e z
et v´erifier qu’il est ´egal `a z.
•Obtenir la forme alg´ebrique d’une nombre complexe non-nul `a l’aide de son conjugu´e :
1
2 + i=1 2 + i×2−i 2−i=2 + i 4+1 =2 5+1 5i
´
Equations du second degr´ e dans C
4
Soit l’´equation du second degr´e az2+bz +c= 0 avec a6= 0, bet cdes r´eels.
Cette ´equation admet toujours des solutions dans l’ensemble des nombres com-
plexes C
`
A l’aide de son discriminant ∆ = b2−4ac, on distingue trois cas :
•Si ∆ = 0, il existe une unique solution z=−b
2a.
•Si ∆ >0, il existe deux solutions r´eelles z=−b±√∆
2a.
•Si ∆ <0, il existe deux solutions complexes conjugu´ees z=−b±i√−∆
2a.
Th´ eor` eme 2
D´emonstration.
On utilise la forme cannonique vu en classe de premi`ere az2+bz+c=a(z+b
2a)
2
−∆
4a2
•Pour les deux premiers cas ∆ = 0 et ∆ >0 ont retrouve les cas vus en premi`ere.
•si ∆ <0, on a −∆>0 d’o`u ∆ = (ip−∆)2.On utilise la forme cannonique
z+b
2a2
−∆
4a2=z+b 2a2
− (ip−∆)
2a!2
=z+b−i√−∆
2az+b+i√−∆ 2a.
On en d´eduit les deux solutions de l’´equation du second degr´e az2+bz +c= 0
dans ce cas.