Cahier de texte Semaine 6 (du 4 au 8 novembre)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI −2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Cahier de texte
Semaine 6(du 4 au 8 novembre)
Lundi 4 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪Logique, ensembles et applications ≫
•Distributivit´e de ou par rapport `a et (resp. de et par rapport `a ou).
•D´efinition d’une implication.
•D´efinition d’une condition n´ecessaire (resp. suffisante).
•N´egation d’une implication.
•D´efinition de la r´eciproque d’une implication.
•D´efinition de la contrapos´ee d’une implication.
•Une implication et sa contrapos´ee ont mˆeme valeur de v´erit´e.
•D´efinition d’une ´equivalence.
Lundi 4 novembre : TD (2h)
Devoir libre n˚2
•Correction des exercices 1 et 2.
Mardi 5 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪Logique, ensembles et applications ≫
•Exemple de d´emonstration d’une propri´et´e commen¸cant par ∀:
∀x∈[−1,3],0≤x2≤9.
•Exemple de d´emonstration d’une implication : la fonction carr´ee est strictement croissante sur R+, i.e. :
∀x∈R+,∀y∈R+, x < y ⇒x2< y2.
•Exemple de d´emonstration d’une ´equivalence :
∀x∈R,0≤x≤2⇔2≤x2−2x+ 3 ≤3.
•Axiome de r´ecurrence.
•D´emonstration de la propri´et´e : pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
Devoirs
•D´emontrer que pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
Jeudi 7 novembre : cours (3h)
Suite du chapitre 2 ≪Logique, ensembles et applications ≫
•Principe du raisonnement par contraposition.
1

•D´emonstration de la propri´et´e :
∀x∈R\ {1},∀y∈R\ {1}, x 6=y⇒x+ 2
x−16=y+ 2 y−1.
•D´emonstration de la propri´et´e :
∀n∈N, n2est pair ⇒nest pair.
•Principe du raisonnement par l’absurde.
•D´emonstration de l’irrationnalit´e de √2.
•Principe du raisonnement par analyse-synth`ese.
•D´emonstration de la propri´et´e : toute fonction f:R→Rs’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’une
fonction paire et d’une fonction impaire.
•Notions d’ensemble et d’appartenance.
•Exemples d’ensembles construits en s´electionnant certains ´el´ements d’un ensemble donn´e.
Jeudi 7 novembre : TD (1h)
Devoir maison n˚2
•Correction de l’exercice 3.
Feuille de TD n˚5 ≪Nombres complexes et trigonom´etrie (partie 2) ≫
•R´esolution de la question 1 de l’exercice 31.
Raisonnement par r´ecurrence
•Correction de la d´emonstration de la propri´et´e : pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
Vendredi 8 novembre : cours (2h)
Suite du chapitre 2 ≪Logique, ensembles et applications ≫
•Exemples d’ensembles d´ecrits par un param´etrage.
•D´efinition de l’ensemble vide.
•D´efinition de l’inclusion d’un ensemble dans un autre.
•D´efinition de l’´egalit´e de deux ensembles.
•D´efinition d’une partie d’un ensemble.
•Tout ensemble poss`ede deux parties naturelles : lui-mˆeme et ∅.
•D´efinition de l’ensemble des parties d’un ensemble.
•D´efinition du compl´ementaire d’une partie d’un ensemble.
Vendredi 8 novembre : DS n˚2 (2h30)
Th`emes
•Calcul d’une ≪grande ≫puissance de nombre complexe.
•´ Equation trigonom´etrique ≪du type ≫acos(x) + bsin(x) = x, o`u (a, b, c)∈R3.
•Lin´earisation d’une expression trigonom´etrique.
•Sommes trigonom´etriques.
•Racines carr´ees d’un nombre complexe non nul.
•Solution(s) d’une ´equation du second degr´e `a coefficients complexes.
•Racines n-i`emes de l’unit´e, o`u n∈N≥2.
•Racines n-i`emes d’un nombre complexe non nul, o`u n∈N≥2.
•Exponentielle complexe.
•Calcul d’une somme avec Python, puis par r´ecurrence et enfin en remarquant un t´elescopage.
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