Logique/Ensembles

PCSI 1
Logique/Ensembles
L ycée
Albert
S
chweitzer
Assertions, connecteurs, quanticateurs.
Ensembles.
1 Soit f : R → R, x 7→ f (x) une fonction. Traduire à l'aide de quanticateurs
les énoncés suivants.
9 Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E . Montrer les implications
1) f est paire.
2) f ne s'annule jamais.
3) f n'est pas la fonction nulle. 4) f est majorée par 5.
5) f est majorée.
6) f est décroissante.
2 Nier les assertions ci-dessus à l'aide des règles de négation des assertions.
Repasser au langage courant pour contrôler.
3 a) Nier l'assertion
∃x ∈ R ∀y ∈ R x + y ≥ 0.
b) Prouver que l'assertion ci-dessus est fausse.
4 Soit z ∈ C. Montrer par l'absurde que l'on a
|z + 1| ≥ 1 ou |z − 1| ≥ 1.
Indication : On pourra penser à l'inégalité triangulaire.
Analyse-synthèse.
5 Montrer que toute fonction s'écrit de manière unique comme somme d'une
fonction paire et d'une fonction impaire.
6 Déterminer les fonctions f
10 Soit E un ensemble et A, B ∈ P(E).
a) Montrer les équivalences suivantes :
A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ⊂ B
et A ∪ B = E ⇐⇒ B ⊂ A.
b) Supposons A ∪ B = A ∩ B . Montrer A = B .
11 Soient A, B, C trois parties d'un ensemble E , telles que E = A ∪ B ∪ C .
Soit D une partie vériant A ∩ D ⊂ B , B ∩ D ⊂ C et C ∩ D ⊂ A.
Montrer que D ⊂ A ∩ B ∩ C .
12 [La diérence symétrique.]
Soit E un ensemble. On dénit, pour deux parties A et B de E la diérence
symétrique de A et B :
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
a) Montrer que A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). Faire un dessin.
b) Supposons A∆B = A ∩ B . Montrer que A = B = ∅.
c) Soit C ∈ P(E). Montrer que (A∆B = A∆C) ⇔ (B = C).
d) Résoudre l'équation A∆X = ∅, d'inconnue X ∈ P(E).
: R → R telles que
f (x + y) = x + f (y).
: R → R telles que
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
Feuille 6
A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.
f (x)f (y) − f (xy) = x + y.
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
8 Déterminer les fonctions f
et
: R → R telles que
∀x ∈ R, ∀y ∈ R,
7 Déterminer les fonctions f
A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C
f (x − f (y)) = 1 − x − y.
2016-2017