1 Rappels d`arithmétique 2 Définition de Z/nZ 3 Elments inversibles

Z/nZ
1 Rappels d’arithm´etique
Division euclidienne et formule de Bezout.
Il existe une infinit de nombres premiers.
2 D´efinition de Z/nZ
La classe de congruence ¯ kmodulond’un entier k: ensemble des entiers ℓtels que k−ℓ
soit divisible par n.
Addition
•Associativit´e.
•El´ement neutre ¯ 0.
•Oppos´e d’un ´el´ement.
•Commutativit´e. +.
Multiplication
•Associativit´e.
•El´ement neutre ¯ 1.
•Inverse d’un ´el´ement.
•Commutativit´e. ×.
3 Elments inversibles
Un ´el´ement ¯ kde Z/nZest inversible si et seulement si ket nsont premiers entre eux.
(Z/nZ)∗
Indicatrice ϕd’Euler, c’est le cardinal de (Z/nZ)∗.
ϕ(pn) = p−pn−1si pest premier.
ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) si met nsont premiers entre eux.
Formule
n=X
d|n
ϕ(d)
4 Ordre d’un lment de Z/nZ
D´efinition. ord(¯ k), c’est le plus petit entier strictement positif utel que u¯ k= 0.
C’est n
pgcd(n,k).
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5 Lemme chinois
Si met nsont premiers entre eux alors Z/mnZest en bijection avec le produit Z/mZ×
Z/nZ, la bijection tant bl’application qui `a une classe de congruence modulo mn associe
les classes modulo met modulo n.
Sous les mˆemes hypoth`eses (Z/mnZ)∗est en bijection avec le produit (Z/mZ)∗×(Z/nZ)∗.
La formule ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) en r´esulte.
6 Th´eor`emes de Fermat et de’Euler
Si pest premier et x∈(Z/pZ)∗alors xp−1= 1.
Soit n > 1, si x∈(Z/nZ)∗alors xϕ(n)= 1
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