Encadrement décimal des racines carrées

Activit´e de math´ematiques (correction)
Encadrement d´ecimal des racines carr´ees
Propri´et´e. Soient aet bdeux nombres r´eels positifs, alors a6bsi et seulement si a26b2.
Exercice 1
1. On a 32611 642donc d’apr`es la propri´et´e ci-dessus :
36√11 64
2. On remarque que 3√2 = √18 et 42618 652donc d’apr`es la propri´et´e :
463√265
On en d´eduit que :
363√2−164
Exercice 2
1. On remarque que 5√3 = √75 et 82675 692donc :
865√369
On obtient alors en retranchant 2 :
665√3−267
2. On remarque que 7√3 = √147 et 1226147 6132donc :
12 67√3613
D’o`u :
−12 >−7√3>−13
soit dans l’ordre croissant :
−13 6−7√36−12
On obtient alors en ajoutant 20 :
7620 −7√368
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Activit´e de math´ematiques (correction) Encadrement d´ecimal des racines carr´ees
Exercice 3
1. On remarque que 10√2 = √200 et que 1426200 6152donc :
14 610√2615
2. On en d´eduit en divisant par 10 :
1,46√261,5
Exercice 4
1. On remarque que 10√3 = √300 et que 1726300 6182donc :
17 610√3618
On en d´eduit en divisant par 10 :
1,76√361,8
2. La subtilit´e ici est que des encadrements `a l’unit´e de √2 et 2√3 ne permettent d’obtenir
qu’un encadrement `a deux unit´es pr`es de √2 + 2√3 !
Nous allons donc devoir ˆetre plus pr´e¸cis :
(√2 + 2√3)2= (√2)2+ (2√3)2+ 2 ×√2×2√3 = 14 + 4√6
Or 4√6 = √96 et 92696 6102donc :
23 614 + 4√6624
A fortiori :
42614 + 4√6652
Donc :
46√2 + 2√365
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