Fondements des mathématiques : un peu de logique et de

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fondements des mathématiques
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Fondements des mathématiques : un peu de logique et de vocabulaire
ensembliste
Nous allons définir dans ce chapı̂tre un vocabulaire et présenter des propriétés utiles dans tous les domaines des
mathématiques.
Ces notions ne sont présentées de façon ni exhautive ni même complètement rigoureuse. Nous nous contenterons
de saisir ce qui est indispensable à l’approche des mathématiques que nous étudierons par la suite.
I
Quelques éléments de logique
Une assertion est vraie (V) ou fausse (F), mais pas simultanément. La construction mathématique repose sur
l’établissement de la véracité d’assertions, à partir d’ assertions connues (et au départ d’assertions dont la véracité est
supposée : ce sont les postulats, ou axiomes) et de règles de déduction que nous allons aborder un peu plus loin.
Un théorème (appelé aussi, selon son importance, proposition, lemme, corollaire. . . ) est une assertion vraie.
La négation d’une assertion p est l’assertion notée non(p) et définie par la table de vérité suivante :
p
V
F
non(p)
F
V
(tableau indiquant les valeurs induites (V ou F) d’une
ou plusieurs assertions en fonction des valeurs des assertions de départ).
Nous utiliserons 4 connecteurs logiques : la conjonction hh et ii , la disjonction hh ou ii , l’implication hh ⇒ii et l’équivalence logique hh ⇔ ii , définis par la table suivante :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p et q
V
F
F
F
p⇒q
V
F
V
V
p ou q
V
V
V
F
p⇔q
V
F
F
V
Remarques :
1. La disjonction (hh ou ii ) correspond à ce que l’on appelle communément le hh ou inclusifii : au moins l’une des
deux assertions est vraies, les deux pouvant être vraies simultanément. A ne pas confondre avec le hh ou exclusifii
du célèbre hh fromage ou dessert ?ii
2. Dans l’assertion hh p ⇒ qii , p est l’hypothèse et q la conclusion.
(a) Cette assertion s’exprimera souvent par hh si p, alors qii , ou hh pour que p, il faut que qii ou encore hh pour
que q, il suffit que pii . Nous trouvons ici la première occurrence de condition nécessaire et de condition
suffisante, notions qu’il convient de maı̂triser dès à présent.
(b) Remarquons que (p ⇒ q) est vraie à partir du moment où p est faux. Ceci ne signifie absolument pas que
la conclusion q soit vraie, mais que toute implication à partir d’une hypothèse fausse est vraie.
3. L’assertion hh p ⇔ qii s’exprimera par hh p si et seulement si qii ou encore hh pour que q, il faut et il suffit que pii .
4. Attention à ne pas utiliser abusivement les notations =⇒ et ⇐⇒. Celles-ci n’ont leur place que dans une assertion
précise et non dans le corps d’une démonstration : les mathématiques se rédigent en français.
Donnons, à titre d’exemples, quelques négations qui nous seront très utiles par la suite (et donc qu’il convient de
maı̂triser parfaitement) :
Soient p et q deux assertions.
T1 :
( non (p et q) ⇐⇒ (( non p) ou ( non q)).
Preuve : Démontrons l’assertion T1 à l’aide d’une table logique :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p et q
V
F
F
F
non (p et q)
F
V
V
V
non p
F
F
V
V
1
non q
F
V
F
V
(non p) ou (non q)
F
V
V
V
T1
V
V
V
V
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( non (p ou q) ⇐⇒ (( non p) et ( non q)).
T2 :
Preuve : toujours à l’aide d’une table logique :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ou q
V
V
V
F
non (p ou q)
F
F
F
V
T3 :
non p
F
F
V
V
non q
F
V
F
V
(non p) et (non q)
F
F
F
V
T2
V
V
V
V
non (p ⇒ q) ⇐⇒ (p et ( non q)).
Cette dernière assertion s’appelle le raisonnement par l’absurde. En pratique, une façon de procéder pour établir
que p ⇒ q est vraie, est de supposer p vraie, q fausse et de montrer que cela entraine une contradiction. Il est alors
établi que (p et ( non q) est fausse, et donc par l’équivalence T3 , ( non (p ⇒ q)) aussi, donc (p ⇒ q) est vraie.
T4 :
(( non p) ⇔ ( non q)) ⇐⇒ (p ⇔ q).
Exercice 1 Démontrer les théorèmes logiques T3 , T4 , ainsi que les théorèmes suivants :
a) (p ⇔ q) ⇐⇒ (q ⇔ p).
b) (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇐⇒ ((p et q) ⇒ r).
c) ((p ou q) ⇒ r) ⇐⇒ ((p ⇒ r) et (q ⇒ r)).
d) ((p ⇒ q) et (q ⇒ p)) ⇐⇒ (p ⇔ q).
(Ce théorème sera utilisé pour prouver une équivalence.)
II
II.1
Les ensembles
Définitions
Notons à nouveau que notre but n’est pas de donner une définition ou un cadre précis et complet de la théorie
des ensembles, chose ardue dépassant l’ambition de ce texte. Nous nous contenterons d’en appréhender les principales
notions qui nous seront utiles dans la suite de l’exposé.
De façon très intuitive, nous nous contenterons de définir un ensemble comme une collection d’objets.
Par exemple : ensemble des joueurs d’une équipe de football, ensemble des clubs de football d’un championnat,
ensemble des championnats nationaux de football, etc. . .
Définir ainsi un ensemble revient à définir les objets qui le constituent, c’est à dire ses éléments, même si cette
définition n’est pas explicite : les éléments d’un ensemble (et donc l’ensemble) seront généralement définis par une
propriété commune.
Notations :
– nous noterons un ensemble ainsi : E = {x | R(x)}, ce qui se lit :
hh E est l’ensemble des objets x vérifiant (tel que) la propriétés R ii ;
– x ∈ E signifie x appartient à (ou est élément de) E ;
– ∅ est l’ensemble vide, c’est à dire l’ensemble qui n’a aucun élément ;
– un ensemble à un élément est appelé singleton et est noté E = {x}.
Définition II.1 Étant donné deux ensembles E et F , nous dirons que E est inclus dans F (ou E est une partie de
F , F contient E. . . ), ce que nous noterons E ⊂ F , si tout élément de E appartient à F 1 .
Par convention, ∅ est inclus dans tous les ensembles.
Si E ⊂ F et F ⊂ E, alors E = F .
1 Remarque culturelle : nous pouvons apercevoir ici pourquoi notre définition d’un ensemble n’est pas suffisante. Par exemple, elle n’évite
pas un célèbre paradoxe du à Bertrand Russel et qui repose sur la construction possible d’ensembles d’ensembles. Construisons l’ensemble
A des ensembles qui ne sont pas inclus dans eux-mêmes (noter que cela n’est possible que parce qu’un ensemble est ici à la fois ensemble et
objet). A est encore un ensemble, et si A ∈ A, par définition de A, A ∈
/ A et de même si A ∈
/ A alors, toujours par définition de A, A ∈ A.
Or, nous avons vu en logique que (p et (non p)) est toujours faux (tiers exclu). . .
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L’ensemble de tous les sous-ensemble de E (ensemble des parties de E) est noté P(E).
L’assertion non (E ⊂ F ) se note E 6⊂ F .
Exemples : P(∅) = ∅ ; P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
Définition II.2 Définissons les quantificateurs universels suivants, toujours de manière intuitive :
– ∀ qui se lit hh pour toutii ou hh quel que soitii ;
– ∃ qui se lit hh il existe un . . . ii (sous-entendu au moins un . . . ) ;
– ∃! qui se lit hh il existe un unique. . . ii .
La définition II.1 s’écrit alors, pour tous ensembles E et F , de la façon suivante :
(E ⊂ F ) ⇐⇒ (∀x ∈ E, x ∈ F ).
Remarque importante : la lettre qui suit un quantificateur est muette, c’est à dire que l’on peut la remplacer
par n’importe quel symbole (non encore utilisé) sans rien changer au sens de l’assertion. Par exemple l’assertion
(∀x ∈ Z, x ∈ Q) est équivalente à (∀toto ∈ Z, toto ∈ Q).
Proposition II.3 Soient E, F et G des ensembles.
1. ∅ ⊂ E, E ⊂ E.
2. Si E ⊂ F et F ⊂ G, alors E ⊂ G.
Démonstration :
1. La première partie est dans la définition II.1, et la seconde est évidente.
2. Rédigeons ce raisonnement, afin de se familiariser avec la formalisation mathématique : supposons que E ⊂ F
et F ⊂ G.
Soit x ∈ E.
Comme E ⊂ F , d’après la définition II.1, x ∈ F et comme F ⊂ G, le même argument montre que x ∈ G. Nous venons d’établir que ∀x ∈ E, x ∈ G et donc la définition II.1 permet de conclure : E ⊂ G. CQFD2
Négation d’une phrase quantifiée : soient E un ensemble et P une propriété que peut vérifier les éléments de E (ce
que nous noterons P (x)). Nous avons alors les équivalences suivantes, fondamentales pour la suite de notre exposé :
– (non (∀x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ (∃x ∈ E tel que (non P (x))) ;
– (non (∃x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ (∀x ∈ E tel que (non P (x))).
II.2
Opérations sur les parties d’un ensemble
Dans toute cette partie, E est un ensemble.
Définition II.4 Soient A, B ∈ P(E). Définissons les parties de E suivantes :
– CE (A) = {x ∈ E | x ∈
/ A}, complémentaire de A dans E, noté également quelquefois A ;
– A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}, union de A et de B ;
– A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}, intersection de A et de B ;
– A − B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈
/ B}, différence de A et de B.
Proposition II.5 Soient A, B, C ∈ P(E).
a) CE (∅) = E ; CE (E) = ∅ ; CE (CE (A)) = A.
b) ∪ est commutative : A ∪ B = B ∪ A et associative : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ∪ ∅ = A ; A ∪ E = E ; (A ∪ B = B) ⇒ A ⊂ B.
c) ∩ est commutative : A ∩ B = B ∩ A et associative : A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ ∅ = ∅ ; A ∩ E = A ; (A ∩ B = B) ⇒ B ⊂ A.
d) ∪ est distributive par rapport à ∩ : (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
∩ est distributive par rapport à ∪ : (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
2 CQFD signifie hh Ce Qu’il Fallait Démontrerii et sert ainsi de conclusion abgrégée à une démonstration bien ficelée. Les latinistes
pourront lui préférer QED.
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Démonstration : aucune de ces égalités d’ensembles ne posent de réelle difficulté, si ce n’est justement comment
démontrer une égalité d’ensembles ? Nous allons nous appuyer à nouveau sur la définition II.1 et donc procéder par
double inclusion.
Par exemple, établissons l’égalité : (∗) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Commençons par montrer que (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) :
Soit x ∈ (A ∩ B) ∪ C ; alors x ∈ A ∩ B ou x ∈ C.
– 1er cas : x ∈ A ∩ B. Alors x ∈ A et x ∈ B. Donc, comme A ⊂ A ∪ C et B ⊂ B ∪ C, nous obtenons x ∈ A ∪ C et
x ∈ B ∪ C. Finalement, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
– 2nd cas : x ∈ C. Comme C ⊂ A ∪ C et C ⊂ B ∪ C, C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), d’où x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Dans tous les cas, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Ce qui prouve l’inclusion recherchée.
Réciproquement, montrons que (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ C :
Soit x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ; alors x ∈ (A ∪ C) et x ∈ (B ∪ C).
– 1er cas : x ∈ C. Alors, comme C ⊂ (A ∩ B) ∪ C, x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
– 2nd cas : x 6∈ C. Alors x ∈ A ∪ C implique que x ∈ A, et x ∈ B ∪ C que x ∈ B. Donc x ∈ A ∩ B, donc
x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Dans tous les cas, x ∈ (A ∩ B) ∪ C. L’inclusion réciproque est donc vérifiée, et donc l’égalité (*).
Les autres égalités sont laissés en exercice. ]]
Définition II.6 Soit P ∈ P(P(E)).
P est une partition de E si et seulement si :
i) ∀A ∈ P , A 6= ∅ ;
ii) ∀A ∈ P, ∀B ∈ P,
(A 6= B) ⇒ (A ∩ B = ∅) ;
iii) ∀x ∈ E, ∃A ∈ P telle que x ∈ A.
Exemples :
1. pour toute partie A ∈ P(E), PA = {A, CE (A)}, est une partition de E ;
2. P1 = {{x} | x ∈ E} est une partition de E ;
3. {R∗− , {0}, R∗+ } est une partition de R.
Les opérations ensemblistes et les connexions logiques sont étroitement liées. Montrons comment la conjonction, la
disjonction ainsi que la négation de propriétés portant sur les éléments d’un ensemble peuvent s’interpréter en termes
ensemblistes : soient P et Q deux propriétés portant sur les éléments de E,
{x ∈ E | P (x) et Q(x)} = {x ∈ E | P (x)} ∩ {x ∈ E | Q(x)}
{x ∈ E | P (x) ou Q(x)} = {x ∈ E | P (x)} ∪ {x ∈ E | Q(x)}
{x ∈ E | non P (x)} = CE ({x ∈ E | P (x)}).
Proposition II.7 Soient P et Q deux propriétés sur les éléments de E.
Il y a équivalence entre les énoncés :
(i) ∀x ∈ E, (P (x) ⇒ Q(x)) ;
(ii) {x ∈ E | P (x)} ⊂ {x ∈ E | Q(x)}.
Démonstration : commençons par montrer que (i) ⇒ (ii). Supposons donc que ∀x ∈ E, (P (x) ⇒ Q(x)).
Soit x ∈ {y | P (y)} . Alors x vérifie la propriété P , donc l’hypothèse (i) montre que x vérifie la propriété Q :
x ∈ {y ∈ E | Q(y)}. Ceci prouve que {x ∈ E | P (x)} ⊂ {x ∈ E | Q(x)}, et établit la première implication.
Démontrons maintenant (ii) ⇒ (i) :
supposons que {x ∈ E | P (x)} ⊂ {x ∈ E | Q(x)}.
Soit x ∈ E vérifiant P . Alors x ∈ {y ∈ E | P (y)} et donc par l’hypothèse (ii), x ∈ {y ∈ E | Q(y)}, donc
x vérifie Q. L’implication réciproque est vérifiée. CQFD
Exercice 2 Soient E un ensemble et A, B ∈ P(E)
1. Montrer que CE (A ∩ B) = CE (A) ∪ CE (B) ;
2. Montrer que (A ∪ B = A ∩ C) ⇐⇒ (B ⊂ A ⊂ C).
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Exercice 3 Soient E, F et G des ensembles. Démontrer que :
a. E ∩ F = E ⇔ E ⊂ F .
b. E ∪ F = E ⇔ F ⊂ E.
c. (E − F ) ∪ (E − G) = E − (F ∩ G).
On rappelle que E − F = {x ∈ E | x ∈
/ F }.
En cherchant ces exercices, ainsi que les propositions laissées en exercice, mettre l’accent dès à present sur la rigueur
du raisonnement bien sûr, mais aussi de la rédaction.
II.3
Ensembles Produits
Soient E et F des ensembles.
Définition II.8 Si x, y ∈ E, le couple (x, y) est le sous-ensemble de E
(x, y) = {{x}, {x, y}}.
Cette définition permet d’établir en ordre entre x et y qui n’existe pas dans la paire {x, y} : (x, y) 6= (y, x).
Proposition II.9 Soient x, x0 , y, y 0 ∈ E.
Il y a équivalence entre les énoncés :
(i) (x, y) = (x0 , y 0 ) ;
(ii) x = x0 et y = y 0 .
Démonstration : (ii) ⇒ (i) est évident.
Démontrons la réciproque (i) ⇒ (ii) : supposons que (x, y) = (x0 , y 0 ), c’est à dire {{x}, {x, y}} = {{x0 }, {x0 , y 0 }}.
Nous allons raisonner par l’absurde : supposons que x 6= x0 .
Alors {x} =
6 {x0 } donc nécessairement, {x} = {x0 , y 0 }. Mais dans ce cas, {x} = {x0 , y 0 } est un singleton, donc
0
0
x = y , et par suite {x0 } = {x0 , y 0 } = {x} : contradiction. Il en résulte que x = x0 , donc {x} = {x0 } puis {x0 , y 0 } = {x, y} et finalement y = y 0 . CQFD
Définition II.10 Le produit cartésien de E par F (ou ensemble produit) est :
E × F = {(x, y) | x ∈ E et y ∈ F }.
Notation : E 2 = E × E.
Proposition II.11 Pour tous x, y ∈ E,
((x, y) ∈ E × F ) ⇐⇒ (x ∈ E et y ∈ F ) .
Démonstration : (⇒) est évident.
(⇔) : Soit (x, y) ∈ E × F . Par définition (II.10) du produit catésien, il existe u ∈ E et v ∈ F tel que (x, y) = (u, v).
Mais la proposition II.9 montre alors que x = u et y = v, donc en particulier x ∈ E et y ∈ F . CQFD
Proposition II.12 Pour tous ensembles E, F , G, H, nous avons :
1. (E × F = ∅) ⇔ (E = ∅ ou F = ∅) ;
2. (E × F = F × E) ⇔ (E = ∅ ou F = ∅ ou E = F ) ;
3. (E × F ) ∪ (E × G) = E × (F ∪ G) ;
4. (E × F ) ∪ (G × F ) = (E ∪ G) × F ;
5. (E × F ) ∩ (G × H) = (E ∩ G) × (F ∩ H).
Démonstration : nous admettrons 1. et 2. Les trois égalités suivantes sont laissées en exercice. ]]
ATTENTION : en général, (E × F ) ∪ (G × H) 6= (E ∪ G) × (F ∪ H).
Par exemple, E = F = {1} et G = H = {−1}, ou encore E = F = [0, 1], G = H = [2, 3], donnent des contreexemples. Faire des dessins pour s’en convaincre, avant d’écrire la démonstration.
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Exercice 4 On pose E = [−1, 4] = {x ∈ R | −1 6 x 6 4} et F = [0, 6] = {x ∈ R | 0 6 x 6 6}.
a. Représenter sur un même dessin (dans le plan R2 = R × R) les ensembles CE×F (A × B) et CE (A) × CF (B) dans
le cas où A = [0, 3] et B = [1, 2].
b. Que peut-on en déduire de l’énoncé suivant
E, F étant des ensembles , ∀A ⊂ E et B ⊂ F,
CE×F (A × B) = CE (A) × CF (B) ?
c. Démontrer que CE×F (A × B) = (CE (A) × F ) ∪ (E × CF (B)).
II.4
Relations binaires sur un ensemble
Dans cette partie, E est à nouveau un ensemble.
Définition II.13
– Une relation binaire R sur E est une partie de E × E : R ∈ E × E.
– Deux éléments x et y de E sont dits en relation par R si (x, y) ∈ R. Nous notons alors ceci xRy.
Exemples :
(1) La relation 6 sur N :
a 6 b si et seulement si ∃m ∈ N tel que a + m = b ;
(2) La relation 6 sur Z :
a 6 b si et seulement si b − a ∈ N ;
(3) La congruence modulo 2π sur R :
x ≡ y [2π] si et seulement si ∃k ∈ Z tel que x = y + 2kπ.
(4) l’inclusion ⊂ sur P(E).
Définition II.14 Une relation binaire R sur E est dite :
– réflexive si ∀x ∈ E, xRx ;
– symétrique si ∀x, y ∈ E, (xRy) ⇒ (yRx) ;
– antisymétrique si ∀x, y ∈ E, ((xRy) et (yRx)) ⇒ (x = y) ;
– transitive si ∀x, y, z ∈ E, ((xRy) et (yRz)) ⇒ (xRz).
Reprenons les exemples qui suivent la définition II.13 : (1), (2) et (4) sont réflexives, antisymétriques et transitives ;
(3) est réflexive, symétrique et transitive.
Définition II.15
– Une relation d’équivalence sur E est une relation binaire sur E,
transitive, symétrique et transitive.
– Une relation d’ordre sur E est une relation binaire sur E,
transitive, antisymétrique et transitive.
Nous dirons souvent hh ordreii au lieu de hh relation d’ordreii . Un ensemble E munit d’une relation d’ordre 6 donne
un couple (E, 6) que nous appelerons ensemble ordonné.
Définition II.16 Soit (E, 6) un ensemble ordonné.
– Deux éléments x et y de E sont comparables si et seulement si x 6 y ou y 6 x.
– Si tous les éléments de E sont comparables, nous dirons que l’ordre est total sur E.
– S’il existe des éléments de E non comparables, alors l’ordre sera défini comme partiel.
Exemples :
1. les ordres hh clasiquesii 6 sur N, Z, R sont des ordres totaux sur ces ensembles ;
2. (P(E), ⊂) est un ensemble ordonné, dont l’ordre est partiel. Le démontrer.
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Définition II.17 Soient (E, 6) un ensemble ordonné et A ∈ P(E).
1. (a) x est un majorant de A (ou x majore A) si pour tout a ∈ A, a 6 x.
Nous dirons alors que A est majorée dans (E, 6).
(b) y est un minorant de A (ou y minore A) si pour tout a ∈ A, y 6 a.
Nous dirons alors que A est minorée dans (E, 6).
2. (a) x est le plus grand élément de A si ( x ∈ A et x est un majorant de A).
On note alors x = max(A)
(b) y est le plus petit élément de A si ( y ∈ A et y est un minorant de A).
On note alors y = min(A).
Remarques :
– Un ensemble n’a pas forcément de majorant : R+ = [0, +∞[ n’est pas majoré dans (R, 6), par exemple ;
– Une partie majorée n’a pas forcément de plus grand élément : [0, 1[ dans (R, 6) par exemple.
Exercice 5 Soit (E, 6) un ensemble ordonné et A ∈ P(E). On suppose que A admet un plus grand élément α.
Démontrer que si β est un plus grand élément de A, alors α = β.
Cet exercice prouve l’unicité (s’il existe !) du plus grand élément d’une partie d’un ensemble ordonné, justifiant
ainsi l’utilisation a priori abusive de l’article hh leii dans la définition II.17.
Définition II.18 Soient (E, 6) un ensemble ordonné et A ∈ P(E).
1. Si A est majorée, on note M (A) l’ensemble des majorants de A.
On dit que A admet une borne supérieure si l’ensemble M (A) possède un plus petit élément et on note alors
sup(A) = min(M (A)).
2. Si A est minorée, on note m(A) l’ensemble des minorants de A.
On dit que A admet une borne inférieure si l’ensemble m(A) possède un plus grand élément et on note alors
inf(A) = max(m(A)).
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