MPSI1 fondements des math´ematiques lyc´ee Chaptal
D´emonstration : aucune de ces ´egalit´es d’ensembles ne posent de r´eelle difficult´e, si ce n’est justement comment
d´emontrer une ´egalit´e d’ensembles ? Nous allons nous appuyer `a nouveau sur la d´efinition II.1 et donc proc´eder par
double inclusion.
Par exemple, ´etablissons l’´egalit´e : (∗) (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C).
Commen¸cons par montrer que (A∩B)∪C⊂(A∪C)∩(B∪C) :
Soit x∈(A∩B)∪C; alors x∈A∩Bou x∈C.
– 1er cas : x∈A∩B. Alors x∈Aet x∈B. Donc, comme A⊂A∪Cet B⊂B∪C, nous obtenons x∈A∪Cet
x∈B∪C. Finalement, x∈(A∪C)∩(B∪C).
– 2nd cas : x∈C. Comme C⊂A∪Cet C⊂B∪C,C⊂(A∪C)∩(B∪C), d’o`u x∈(A∪C)∩(B∪C).
Dans tous les cas, x∈(A∪C)∩(B∪C). Ce qui prouve l’inclusion recherch´ee.
R´eciproquement, montrons que (A∪C)∩(B∪C)⊂(A∩B)∪C:
Soit x∈(A∪C)∩(B∪C) ; alors x∈(A∪C) et x∈(B∪C).
– 1er cas : x∈C. Alors, comme C⊂(A∩B)∪C,x∈(A∩B)∪C.
– 2nd cas : x6∈ C. Alors x∈A∪Cimplique que x∈A, et x∈B∪Cque x∈B. Donc x∈A∩B, donc
x∈(A∩B)∪C.
Dans tous les cas, x∈(A∩B)∪C.L’inclusion r´eciproque est donc v´erifi´ee, et donc l’´egalit´e (*).
Les autres ´egalit´es sont laiss´es en exercice. ]]
D´efinition II.6 Soit P∈ P(P(E)).
Pest une partition de Esi et seulement si :
i) ∀A∈P,A6=∅;
ii) ∀A∈P, ∀B∈P, (A6=B)⇒(A∩B=∅);
iii) ∀x∈E, ∃A∈Ptelle que x∈A.
Exemples :
1. pour toute partie A∈ P(E), PA={A, CE(A)}, est une partition de E;
2. P1={{x} | x∈E}est une partition de E;
3. {R∗
−,{0},R∗
+}est une partition de R.
Les op´erations ensemblistes et les connexions logiques sont ´etroitement li´ees. Montrons comment la conjonction, la
disjonction ainsi que la n´egation de propri´et´es portant sur les ´el´ements d’un ensemble peuvent s’interpr´eter en termes
ensemblistes : soient Pet Qdeux propri´et´es portant sur les ´el´ements de E,
{x∈E|P(x) et Q(x)}={x∈E|P(x)}∩{x∈E|Q(x)}
{x∈E|P(x) ou Q(x)}={x∈E|P(x)}∪{x∈E|Q(x)}
{x∈E|non P(x)}=CE({x∈E|P(x)}).
Proposition II.7 Soient Pet Qdeux propri´et´es sur les ´el´ements de E.
Il y a ´equivalence entre les ´enonc´es :
(i) ∀x∈E, (P(x)⇒Q(x)) ;
(ii) {x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}.
D´emonstration : commen¸cons par montrer que (i)⇒(ii). Supposons donc que ∀x∈E, (P(x)⇒Q(x)).
Soit x∈ {y|P(y)}. Alors xv´erifie la propri´et´e P, donc l’hypoth`ese (i) montre que xv´erifie la propri´et´e Q:
x∈ {y∈E|Q(y)}.Ceci prouve que {x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}, et ´etablit la premi`ere implication.
D´emontrons maintenant (ii)⇒(i) :
supposons que {x∈E|P(x)} ⊂ {x∈E|Q(x)}.
Soit x∈Ev´erifiant P. Alors x∈ {y∈E|P(y)}et donc par l’hypoth`ese (ii), x∈ {y∈E|Q(y)}, donc
xv´erifie Q.L’implication r´eciproque est v´erifi´ee. CQFD
Exercice 2 Soient Eun ensemble et A, B ∈ P(E)
1. Montrer que CE(A∩B) = CE(A)∪CE(B) ;
2. Montrer que (A∪B=A∩C)⇐⇒ (B⊂A⊂C).
4