Russel

L’ensemble de tous les ensembles n’existe pas
Nous allons d´emontrer ici qu’il n’existe pas d’ensemble dont tout ensemble est une
partie (”l’ensemble de tous les ensembles” n’existe pas). Nous raisonnons par l’absurde
en supposant l’existence d’un tel ensemble E: cet ensemble contient tous les ensembles.
L’id´ee de cette d´emonstration est due `a Bertrand Russel en 1902.
L’ensemble P(E) des parties de Eest donc un sous-ensemble de cet ensemble E:
P(E)⊂E.
Cela signifie donc que toute partie de Eest aussi un ´el´ement de E:pourtoute
partie Xde Eon peut ´ecrire X⊂Emais aussi X∈E.
ÃL’id´ee de Russel fut de d´efinir une partie de Ede la fa¸con suivante :
Soit Al’ensemble des ´el´ements xde Etels que xn’appartienne pas `ax:
A={x∈E|x/∈x}
Cette d´efinition a un sens puisque, pour chaque xde Eon regarde si cet ´el´ement x
appartient ou non `alapartie xde E. Cette partie Apeut ´eventuellement ˆetre l’ensemble
vide : cela n’a aucune importance puisque l’ensemble vide est bien un sous-ensemble de
E.
Cette partie Ade Eest aussi un ´el´ement de E. Regardons donc si l’´el´ement Aappar-
tient ou non `a la partie A:
•si A∈Aalors, par d´efinition de A,cet´el´ement An’appartient pas `a la partie A:
A/∈A. Il y a contradiction.
•si A/∈Aalors il ne v´erifie pas la condition de d´efinition de A:Aest un ´el´ement de la
partie A. On a donc A∈A,etilyacontradiction.
Dans tous les cas, on arrive `a une impossibilit´e. L’ensemble Ene peut pas exister.
Le lecteur int´eress´e (et anglophone) pourra consulter un historique rapide de la th´eorie
des ensembles sur le site
http://www-groups.dcs.st-and.uk/∼history/HistTopics/Beginnings of set theory.html
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