L’ensemble de tous les ensembles n’existe pas
Nous allons démontrer ici qu’il n’existe pas d’ensemble dont tout ensemble est une
partie (”l’ensemble de tous les ensembles” n’existe pas). Nous raisonnons par l’absurde
en supposant l’existence d’un tel ensemble E: cet ensemble contient tous les ensembles.
L’idée de cette démonstration est due à Bertrand Russel en 1902.
L’ensemble P(E) des parties de E est donc un sous-ensemble de cet ensemble E :
P (E) ⊂ E.
Cela signifie donc que toute partie de E est aussi un élément de E : pour toute
partie X de E on peut écrire X ⊂ E mais aussi X ∈ E.
L
à ’idée de Russel fut de définir une partie de E de la façon suivante :
Soit A l’ensemble des éléments x de E tels que x n’appartienne pas à x:
A = {x ∈ E | x ∈
/ x}
Cette définition a un sens puisque, pour chaque x de E on regarde si cet élément x
appartient ou non à la partie x de E. Cette partie A peut éventuellement être l’ensemble
vide : cela n’a aucune importance puisque l’ensemble vide est bien un sous-ensemble de
E.
Cette partie A de E est aussi un élément de E. Regardons donc si l’élément A appartient ou non à la partie A :
• si A ∈ A alors, par définition de A, cet élément A n’appartient pas à la partie A :
A∈
/ A. Il y a contradiction.
• si A ∈
/ A alors il ne vérifie pas la condition de définition de A : A est un élément de la
partie A. On a donc A ∈ A, et il y a contradiction.
Dans tous les cas, on arrive à une impossibilité. L’ensemble E ne peut pas exister.
Le lecteur intéressé (et anglophone) pourra consulter un historique rapide de la théorie
des ensembles sur le site
http://www-groups.dcs.st-and.uk/∼history/HistTopics/Beginnings of set theory.html
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