Résumé corps finis Un peu d`algèbre Caractéristique d`un corps

Résumé corps finis
Un peu d’algèbre
Z/pZ. On note Fple corps Z/pZ.
k[x]/Pest un corps, où kest un corps commutatif et Pest un polynôme irré-
ductible.
Caractéristique d’un corps
Proposition 1 Un corps fini contient un corps Z/pZoù pest un nombre pre-
mier.
pest appelé la caractéristique du corps.
Fpest appelé corps premier.

Nombre d’éléments d’un corps fini.
Proposition 2 Un corps fini Kde caractéristique padmet pnéléments où n
est un entier.
Proposition 3
dimkk[x]/P=degP
Proposition 4 Si aet bsont des éléments d’un corps Kde caractéristique p,
alors
(a+b)p=ap+bp.

Eléments primitifs
Théorème 1 Si Kest un corps fini, alors le groupe multiplicatif K∗est cyclique.
Proposition 5 Les générateurs de K∗sont appelés éléments primitifs de K.
Existence de corps finis
Proposition 6 Soit Kun corps fini. Soit aun élément primitif de K. Soit f(x)
le polynôme minimal de adans Fp[x]. Alors
K'Fp[x]/(f(x)).
Définition 1 On appelle polynôme primitif le polynôme minimal d’un générateur
du groupe F2m
Théorème 2 Etant donné un nombre premier pet un entier strictement positif n,
il existe un corps à pnéléments.

Unicité des corps finis
Proposition 7 Soit Kun corps ayant qéléments. Les éléments ade Kvérifient
aq=a. On a
xq−x=Y
a∈K
(x−a).
Théorème 3 Soient Ket Ldeux corps ayant pn=qéléments. Alors Kest
isomorphe à L.
Corollaire 1 Tout corps ayant pnéléments est isomorphe à un corps de la forme
Fp[x]/(f(x)) où f(x)est un polynôme irréductible de degré n.
Remarque. Il n’existe pas de procédé général pour trouver un polynôme irré-
ductible de degré donné n, c’est-à-dire pour construire un corps Fpn.

Définition 2 La réunion des corps finis contenus dans un corps algébriquement
clos de caractéristique pest appelée clôture algébrique de Fp.
Proposition 8 Deux clôtures algébriques de Fpsont isomorphes.
Extension de corps
Proposition 9 Un corps Lde caractéristique pcontient au plus un corps ayant
préléments.
Proposition 10 Un corps Layant pnéléments contient un corps ayant prélé-
ments si et seulement si rdivise n.