Résumé corps finis Un peu d`algèbre Caractéristique d`un corps

Résumé corps finis
Un peu d’algèbre
Z/pZ. On note Fp le corps Z/pZ.
k[x]/P est un corps, où k est un corps commutatif et P est un polynôme irréductible.
Caractéristique d’un corps
Proposition 1 Un corps fini contient un corps Z/pZ où p est un nombre premier.
p est appelé la caractéristique du corps.
Fp est appelé corps premier.
Nombre d’éléments d’un corps fini.
Proposition 2 Un corps fini K de caractéristique p admet p n éléments où n
est un entier.
Proposition 3
dimk k[x]/P = deg P
Proposition 4 Si a et b sont des éléments d’un corps K de caractéristique p ,
alors
(a + b)p = a p + b p .
Eléments primitifs
Théorème 1 Si K est un corps fini, alors le groupe multiplicatif K ∗ est cyclique.
Proposition 5 Les générateurs de K ∗ sont appelés éléments primitifs de K .
Existence de corps finis
Proposition 6 Soit K un corps fini. Soit a un élément primitif de K . Soit f (x)
le polynôme minimal de a dans Fp [x]. Alors
K ' Fp [x]/( f (x)).
Définition 1 On appelle polynôme primitif le polynôme minimal d’un générateur
du groupe F2m
Théorème 2 Etant donné un nombre premier p et un entier strictement positif n ,
il existe un corps à p n éléments.
Unicité des corps finis
Proposition 7 Soit K un corps ayant q éléments. Les éléments a de K vérifient
a q = a . On a
q
x −x =
Y
(x − a).
a∈K
Théorème 3 Soient K et L deux corps ayant p n = q éléments. Alors K est
isomorphe à L.
Corollaire 1 Tout corps ayant p n éléments est isomorphe à un corps de la forme
Fp [x]/( f (x)) où f (x) est un polynôme irréductible de degré n .
Remarque. Il n’existe pas de procédé général pour trouver un polynôme irréductible de degré donné n , c’est-à-dire pour construire un corps Fp n .
Définition 2 La réunion des corps finis contenus dans un corps algébriquement
clos de caractéristique p est appelée clôture algébrique de Fp .
Proposition 8 Deux clôtures algébriques de Fp sont isomorphes.
Extension de corps
Proposition 9 Un corps L de caractéristique p contient au plus un corps ayant
p r éléments.
Proposition 10 Un corps L ayant p n éléments contient un corps ayant p r éléments si et seulement si r divise n .
Trace et Norme
Soient K ⊂ L deux corps finis ayant respectivement p r = q et p n = q s éléments
avec s = n/r .
La trace
On définit la trace d’un élément x de L comme étant
q
TrL/K x = x + x + x
q2
+···+ x
q s−1
=
s−1
X
xq
i
0
Proposition 11 Tr est un forme linéaire surjective sur K Tr(x q ) = Tr(x).
La norme
On définit la norme d’un élément x de L comme étant
q q2
NL/K x = xx x
···x
q s−1
=
s−1
Y
x
qi
0
Proposition 12 N est un homomorphisme de groupes de L ∗ dans K ∗ . N est
surjective sur K N (x q ) = N (q).